Determine uma representação paramétrica de cada uma das superfícies abaixo e calcule sua área:

b) S é a parte do cilindro x 2 + z 2 = 1 compreendida entre os planos y = - 1 e y = 3 ;

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para determinarmos uma representação paramétrica de S em que S é a parte do cilindro x 2 + z 2 = 1 compreendida entre os planos y = - 1 e y = 3 .

A questão também nos pede para calcular a sua área.

Para podermos resolver isso, primeiramente temos que parametrizar a superfície para a qual estamos trabalhando para prosseguir com os próximos passos que vamos ver juntos, belezinha?

Não entendeu? Então bora junto 😉

Passo 2

Bom... parametrizando o cilindro, temos:

x 2 + z 2 = 1

Fazendo a representação em coordenadas cilíndricas, temos (considerando o raio R igual a 1 ):

x = R cos ⁡ θ = cos ⁡ θ

y = y

z = R   s e n   θ = s e n   θ  

Sendo θ e y os parâmetros, temos a representação paramétrica da superfície:

ϕ θ , y = cos ⁡ θ ,   y , s e n   θ  

Passo 3

Já para a área A , devemos fazer:

A = ∬ ∂ ϕ ∂ θ × ∂ ϕ ∂ y d θ   d y

Dessa forma, fazemos:

  • ∂ ϕ ∂ θ = - s e n   θ , 0 , cos ⁡ θ
  • ∂ ϕ ∂ y = 0,1 , 0

Portanto, temos:

∂ ϕ ∂ θ × ∂ ϕ ∂ y = i j k -   s e n   θ 0 cos ⁡ θ 0 1 0 ∴

∂ ϕ ∂ θ × ∂ ϕ ∂ y = - cos ⁡ θ i - s e n   θ k

Assim, temos:

∂ ϕ ∂ θ × ∂ ϕ ∂ y = - cos ⁡ θ 2 + - s e n   θ 2 ∴

∂ ϕ ∂ θ × ∂ ϕ ∂ y = 1

Substituindo na integral, temos:

A = ∬ 1 d θ   d y

Passo 4

Já para a região, temos que 0 < θ < 2 π e - 1 < y < 3 . Portanto, temos:

A = ∫ - 1 3 ∫ 0 2 π 1 d θ d y ∴

A = 8 π

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

ϕ θ , y = cos ⁡ θ ,   y , s e n   θ  

A = 8 π

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