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Exercícios Resolvidos de Caso Escalar

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 3, lista 3 - 2021.1, Questão 26

Analise as seguintes afirmações sobre o campo F → ( x , y , z ) = ( x , y , z ) ( x 2 + y 2 + z 2 ) 3 :

( I )   D i v ( F → ) = 1 .

( I I )   F → é conservativo em seu domínio.

( I I I ) A integral de superfície de F → sobre qualquer esfera de raio a é 0 .

Podemos afirmar que

a ) todas as afirmações são verdadeiras.

b ) apenas as afirmações ( I ) e ( I I ) são verdadeiras.

c ) apenas as afirmações ( I ) e ( I I I ) são verdadeiras.

d ) apenas a afirmação ( I ) é verdadeira.

e ) apenas a afirmação ( I I ) é verdadeira.

Passo 1

Oiie, tudo bem?

Temos o campo vetorial

F → ( x , y , z ) = ( x , y , z ) ( x 2 + y 2 + z 2 ) 3 = ( x ( x 2 + y 2 + z 2 ) 3 / 2 , y ( x 2 + y 2 + z 2 ) 3 / 2 , z ( x 2 + y 2 + z 2 ) 3 / 2 )

precisamos verificar as seguinte afirmações sobre ele

( I )   D i v ( F → ) = 1 .

( I I )   F → é conservativo em seu domínio.

( I I I ) A integral de superfície de F → sobre qualquer esfera de raio a é 0 .

Vamos começar a verificar as afirmativas individualmente e verificar quais são verdadeiras! Começando pela primeira afirmativa! Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, temos que a divergência pode ser calculada como

D i v ( F → ) = ∂ ∂ x [ F x ] + ∂ ∂ y [ F y ] + ∂ ∂ z [ F z ]

em que o campo vetorial é da forma F → = ( F x , F y , F z ) , nós iremos calcular três derivadas da forma

∂ ∂ x [ F x ] = ∂ ∂ x [ x ( x 2 + y 2 + z 2 ) 3 / 2 ] = ( x 2 + y 2 + z 2 ) 3 / 2 - 3 x 2 ( x 2 + y 2 + z 2 ) 1 / 2 ( x 2 + y 2 + z 2 ) 3

em que calculei as derivadas parciais usando a regra do quociente e lembrando que as variáveis que não estão sendo derivadas são tomadas como constantes, da mesma forma, podemos escrever que

∂ ∂ y [ F y ] = ∂ ∂ x [ y ( x 2 + y 2 + z 2 ) 3 / 2 ] = ( x 2 + y 2 + z 2 ) 3 / 2 - 3 y 2 ( x 2 + y 2 + z 2 ) 1 / 2 ( x 2 + y 2 + z 2 ) 3

e, também

∂ ∂ z [ F z ] = ∂ ∂ z [ z ( x 2 + y 2 + z 2 ) 3 / 2 ] = ( x 2 + y 2 + z 2 ) 3 / 2 - 3 z 2 ( x 2 + y 2 + z 2 ) 1 / 2 ( x 2 + y 2 + z 2 ) 3

Somando as três derivadas, temos que

D i v ( F → ) = ( x 2 + y 2 + z 2 ) 3 / 2 - 3 x 2 ( x 2 + y 2 + z 2 ) 1 / 2 ( x 2 + y 2 + z 2 ) 3 + ( x 2 + y 2 + z 2 ) 3 / 2 - 3 y 2 ( x 2 + y 2 + z 2 ) 1 / 2 ( x 2 + y 2 + z 2 ) 3 + ( x 2 + y 2 + z 2 ) 3 / 2 - 3 z 2 ( x 2 + y 2 + z 2 ) 1 / 2 ( x 2 + y 2 + z 2 ) 3

evidenciando o termo - 3 ( x 2 + y 2 + z 2 ) 1 / 2 e o denominador comum, temos que

D i v ( F → ) = 3 ( x 2 + y 2 + z 2 ) 3 / 2 - 3 ( x 2 + y 2 + z 2 ) 1 / 2 ( x 2 + y 2 + z 2 ) ( x 2 + y 2 + z 2 ) 3 = 0

Portanto, temos que a alternativa a ) ,   b ) ,   c ) e d ) são falsas. Nos restando como verdadeira a alternativa e ) . A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Alternativa ( e )

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