f )   ∫ ∫ S x y z d σ , onde S é a parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 interior ao cone z = x 2 + y 2 ;

Passo 1

E aí gente bonita, como vocês estão?

Nessa questão temos que calcular a nossa famosa integral de superfície no caso escalar (não temos um campo vetorial).

Vocês lembram a receita do bolo pra calcular esse tipo de integral?

Hahaha! Então bora dar uma revisada nos passos!

Imagina que temos que calcular:

∫ ∫ S f x , y , z d S

1 )   Parametrizar a superfície S

ϕ ( u , v )

2 )   Escrever a função f ( x , y , z ) como função da parametrização

f ϕ u , v

3 )   Calcular o módulo do vetor normal à superfície, usando que:

N → = ∂ ϕ ∂ u × ∂ ϕ ∂ v

4 )   Montar a integral:

∫ ∫ S f x , y , z d S = ∫ ∫ D f ϕ u , v ∂ ϕ ∂ u × ∂ ϕ ∂ v d u d v

5 )   Resolver como uma integral dupla normal!

Show de bola gente! Essa é a receitinha de bolo pra gente matar qualquer integral de superfície no caso escalar.

Então, bora usar essa ideia na integral pedida no enunciado e matar mais um item 😊

Passo 2

No caso desse item precisamos resolver a integral:

∫ ∫ S x y z d σ

Assim, vemos que a função que está sendo integrada é:

f x , y , z = x y z

onde S é a parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 interior ao cone z = x 2 + y 2 .

Pra entender melhor quem é a superfície S vamos esboçá-la:

A superfície S é justamente a superfície da esfera que está “dentro” do cone.

Vamos seguir a nossa receita de bolo pra matar essa integral de superfície.

1 )   Parametrizar a superfície S :

Para fazer isso usaremos a parametrização em coordenadas esféricas, já que S é uma calota esférica (intersecção de um cone com uma esfera).

Como:

x 2 + y 2 + z 2 = R 2

Temos que essa esfera tem raio R = 1 .

x = 1 ⋅ cos ⁡ θ ⋅ s e n   ( ϕ ) y = 1 ⋅ s e n   θ ⋅ s e n   ( ϕ ) z = 1 ⋅ cos ⁡ ( ϕ )

O grande ponto é conseguirmos saber como estão variando θ e ϕ .

Como a superfície S trata-se de uma calota, podemos afirmar que:

0 ≤ θ ≤ 2 π

Pois uma calota é formada por várias seções circulares completas.

Já em ϕ , precisamos determinar o valor mínimo do seu cosseno, para a partir daí descobrir o valor máximo de ϕ .

Temos:

z = x 2 + y 2 x 2 + y 2 + z 2 = 1

Substituindo a primeira equação na segunda, teremos:

z 2 + z 2 = 1

∴ z 2 = 1 2

⇒ z = 2 2

Logo, o cosseno de ϕ , vale:

cos ⁡ ϕ = z R

= 2 2 1

Assim:

ϕ = arccos ⁡ 2 2 = π 4

Portanto, temos também que:

0 ≤ ϕ ≤ π 4

Perfeito!

A nossa parametrização ficou:

φ θ , ϕ = cos ⁡ θ ⋅ s e n   ϕ , s e n   θ ⋅ s e n   ϕ ,   cos ⁡ ϕ  

Muito bom!!

Passo 3

Seguindo nossa receitinha, temos agora:

2 )   Escrever a função f ( x , y , z ) como função da parametrização:

Lembra que vimos:

f x , y , z = x y z

Mas, pela parametrização:

x y z = ( c o s θ ⋅ s e n ϕ ⋅ s e n θ ⋅ s e n ϕ ⋅ c o s ϕ

Logo:

f ϕ θ , ϕ = s e n 2 ϕ ⋅ c o s ϕ ⋅ s e n θ ⋅ c o s θ

3 )   Calcular o módulo do vetor normal à superfície, usando que:

Vamos lá, encontramos que:

φ θ , ϕ = cos ⁡ θ ⋅ s e n   ϕ , s e n   θ ⋅ s e n   ϕ , cos ⁡ ϕ  

Assim:

∂ φ ∂ θ = ( - s e n θ ⋅ s e n   ϕ , cos ⁡ θ ⋅ s e n   ( ϕ ) ,   0 )

Já se tomarmos a derivada parcial com relação a y , teremos:

∂ φ ∂ ϕ = cos ⁡ θ ⋅ cos ⁡ ϕ , s e n   θ ⋅ cos ⁡ ϕ , s e n   ��

Muito bom! Vamos então calcular o produto vetorial:

∂ φ ∂ θ × ∂ φ ∂ ϕ = i j k - s e n θ ⋅ s e n   ϕ cos ⁡ θ ⋅ s e n   ( ϕ ) 0 cos ⁡ θ ⋅ cos ⁡ ϕ s e n   θ ⋅ cos ⁡ ϕ - s e n   ϕ

= - c o s θ ⋅ s e n 2 ϕ i + - s e n θ ⋅ s e n 2 ϕ j + - s e n 2 θ ⋅ s e n ϕ cos ⁡ ϕ - cos 2 ⁡ θ ⋅ s e n ϕ cos ⁡ ϕ k

Esse é justamente o vetor normal! Precisamos apenas calcular o seu módulo!

N → = ( s e n 4 ϕ ⋅ cos 2 ⁡ θ + s e n 2 θ ⋅ s e n 4 ϕ + s e n 2 ϕ cos 2 ⁡ ϕ

= 1 ⋅ s e n ( ϕ )

Perfeito!

4 )   Montar a integral:

∫ ∫ S f x , y , z d S = ∫ ∫ D f ϕ u , v ∂ ϕ ∂ u × ∂ ϕ ∂ v d u d v

Usando os dados que encontramos, temos:

∫ ∫ S x y z d σ = ∫ 0 π 4 ∫ 0 2 π s e n 2 ϕ ⋅ c o s ϕ ⋅ s e n θ ⋅ c o s θ ⋅ d θ d ϕ

Então, nossa missão é resolver essa integral!

Passo 4

Vamos resolver a integral:

∫ 0 π 4 ∫ 0 2 π s e n 2 ϕ ⋅ c o s ϕ ⋅ s e n θ ⋅ c o s θ ⋅ d θ d ϕ

Como ϕ é constante em relação a integral mais interna:

∫ 0 π / 4 s e n 2 ϕ c o s ϕ d ϕ ⋅ ∫ 0 2 π s e n θ c o s θ d θ

Vamos começar pela segunda integral:

∫ 0 2 π s e n θ c o s θ d θ

Lembrando que:

s e n 2 θ = 2 s e n θ c o s θ

Temos:

s e n θ c o s θ = s e n 2 θ 2

Logo:

∫ 0 2 π s e n θ c o s θ d θ = 1 2 ⋅ ∫ 0 2 π s e n 2 θ d θ

= 1 2 ⋅ cos ⁡ 2 θ 2 0 2 π

= 1 2 ⋅ 1 - 1

= 0

Mas, se essa integral é nula, independente do resultado da outra integral, teremos que:

∫ ∫ S x y z d σ = 0

Prontinho! Matamos mais uma questão 😊

Obrigado pela atenção galera!

Resposta

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