Calcule ∫ γ v → ⋅ d r → , sendo

( b ) v → ( x , y , z ) = ( - y x 2 + y 2 , x x 2 + y 2 ,   z 3 1 + z 2 ) e γ é a intersecção das superfícies do cilindro x 2 + y 2 = 1 com o plano     x   +   y   +   z   =   4 , orientada de modo que sua projeção no plano x y seja percorrida no sentido horário.

Passo 1

Eaew, belezinha?

O enunciado nos pede para calcularmos a seguinte integração

∫ γ v → ⋅ d r →

em que levamos em consideração o seguinte campo vetorial

v ��� ( x , y , z ) = ( - y x 2 + y 2 , x x 2 + y 2 ,   z 3 1 + z 2 )

e a curva pode ser obtida pela intersecção do cilindro

x 2 + y 2 = 1

com a superfície

z + y + x = 4

Primeiro vamos parametrizar essa curva!

Passo 2

Para parametrizar a curva intersecção entre as duas superfícies, vamos usar coordenadas polares de forma que

x ( t ) =   c o s ( t ) e y ( t ) =   s e n ( t )

Desta forma, temos que

z ( t ) = 4 - c o s ( t ) - s i n ( t )

Ou seja, nossa curva é dada por

r → ( t ) = ( c o s ( t ) ,   s e n ( t ) ,   4 - c o s ( t ) - s i n ( t ) ) , 0 ≤ t ≤ 2 π

Passo 3

Temos que

∫ γ v → ⋅ d r → = ∫ t i t f   v → ⋅ r ' → ( t ) d t

então vamos calcular r ' → ( t )

r ' → ( t ) = d d t ( c o s ( t ) ,   s e n ( t ) ,   4 - c o s ( t ) - s i n ( t ) ) = ( - s i n ( t ) ,   c o s ( t ) ,   s i n ( t ) - c o s ( t ) )

Sendo,

v → ( x , y , z ) = ( - y x 2 + y 2 , x x 2 + y 2 ,   z 3 1 + z 2 ) = ( - s i n ( t ) ,   c o s ( t ) ,   ( 4 - c o s ( t ) - s i n ( t ) ) 3 1 + ( 4 - c o s ( t ) - s i n ( t ) ) 2 ) .

Assim,

v → ⋅ r ' → ( t ) = ( - s i n ( t ) ,   c o s ( t ) ,   ( 4 - c o s ( t ) - s i n ( t ) ) 3 1 + ( 4 - c o s ( t ) - s i n ( t ) ) 2 ) . ( - s i n ( t ) ,   c o s ( t ) ,   s i n ( t ) - c o s ( t ) )

v → ⋅ r ' → ( t ) = s i n ( t ) 2   + c o s ( t ) 2 + ( 4 - c o s ( t ) - s i n ( t ) ) 3 1 + ( 4 - c o s ( t ) - s i n ( t ) ) 2 ( s i n ( t ) - c o s ( t ) )

Lembrando que s i n ( t ) 2   + c o s ( t ) 2 = 1 , temos que

v → ⋅ r ' → ( t ) = 1 + ( 4 - c o s ( t ) - s i n ( t ) ) 3 1 + ( 4 - c o s ( t ) - s i n ( t ) ) 2 ( s i n ( t ) - c o s ( t ) ) .

Passo 4

Passo 5

A integral é tal que

∫ γ v → ⋅ d r → = - ∫ 0 2 π [ 1 + ( 4 - c o s ( t ) - s i n ( t ) ) 3 1 + ( 4 - c o s ( t ) - s i n ( t ) ) 2 ( s i n ( t ) - c o s ( t ) ) ] d t

O sinal negativo é devido o caminho ser percorrido no sentido horário . Assim,

- ∫ 0 2 π [ 1 + ( 4 - c o s ( t ) - s i n ( t ) ) 3 1 + ( 4 - c o s ( t ) - s i n ( t ) ) 2 ( s i n ( t ) - c o s ( t ) ) ] d t = - t | 0 2 π - ∫ 0 2 π ( 4 - c o s ( t ) - s i n ( t ) ) 3 1 + ( 4 - c o s ( t ) - s i n ( t ) ) 2 ( s i n ( t ) - c o s ( t ) ) d t

Note que se fizermos a seguinte substituição w = 4 - c o s ( t ) - s i n ( t ) na segunda integral, temos que d w = s i n ( t ) - c o s ( t ) e a segunda integral fica

∫ 0 2 π ( 4 - c o s ( t ) - s i n ( t ) ) 3 1 + ( 4 - c o s ( t ) - s i n ( t ) ) 2 ( s i n ( t ) - c o s ( t ) ) d t = ∫ 0 0 ( w ) 3 1 + ( w ) 2 d w

Porém, os limites da integral em w são iguais, portanto, essa integral é nula

∫ 0 2 π ( 4 - c o s ( t ) - s i n ( t ) ) 3 1 + ( 4 - c o s ( t ) - s i n ( t ) ) 2 ( s i n ( t ) - c o s ( t ) ) d t = ∫ 3 3 ( w ) 3 1 + ( w ) 2 d w =0

voltando para a integral total

∫ γ v → ⋅ d r → = - t | 0 2 π = - 2 π .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

∫ γ v → ⋅ d r → = - 2 π .

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