Exercícios Resolvidos de Teorema de Stokes

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Exercício 69 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 3, lista 3 - 2021.1, Questão 11b

Calcule , sendo

e é a intersecção das superfícies do cilindro com o plano , orientada de modo que sua projeção no plano seja percorrida no sentido horário.

Passo 1

Eaew, belezinha?

O enunciado nos pede para calcularmos a seguinte integração

em que levamos em consideração o seguinte campo vetorial

e a curva pode ser obtida pela intersecção do cilindro

com a superfície

Primeiro vamos parametrizar essa curva!

Passo 2

Para parametrizar a curva intersecção entre as duas superfícies, vamos usar coordenadas polares de forma que

Desta forma, temos que

Ou seja, nossa curva é dada por

Passo 3

Temos que

então vamos calcular

Sendo,

Assim,

Lembrando que , temos que

Passo 4

Passo 5

A integral é tal que

[

O sinal negativo é devido o caminho ser percorrido no sentido horário . Assim,

Note que se fizermos a seguinte substituição na segunda integral, temos que e a segunda integral fica

Porém, os limites da integral em são iguais, portanto, essa integral é nula

voltando para a integral total

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

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