UFSC, Sem Campus, Pré-Cálculo, Listas Pré Cálculo - Lista 8, Questão 12
Determine para que valores de as expressões abaixo fazem sentido (em ):
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
O enunciado nos deu algumas equações irracionais (que são aquelas que envolvem radicais – raízes) e pediu pra gente encontrar os valores de para os quais elas estão definidas no conjunto dos números reais (em ).
Pra descobrir os valores de , vamos considerar as restrições de cada equação, ou seja, os valores que não podem assumir. No caso de uma raiz de índice par, nós sabemos que o que tá dentro da raiz (o radicando) precisa ser maior ou igual a zero. No caso de uma fração, nós sabemos que o denominador não pode ser zero.
Então, vamos avaliar cada caso, de acordo com as restrições, e descobrir os valores de para os quais elas estão definidas.
Vamos lá!
Passo 2
No item a), temos:
A gente sabe que o radicando não pode ser negativo, então vamos escrever:
Isolando , temos:
Logo, os valores de que a expressão pode assumir em estão no intervalo:
Passo 3
No item b), temos:
Então, temos duas restrições: o denominador não pode ser zero e o radicando tem que ser maior ou igual a zero. Dessa forma, nosso denominador só pode ser positivo, ou seja:
Isolando :
Logo, os valores de que a expressão pode assumir em estão no intervalo:
Passo 4
No item c),
Nossa raiz também tem índice par (), então o radicando precisar ser maior ou igual a zero. E não podemos esquecer que o denominador não pode ser zero. Então:
Pra que seja verdade, o sinais do numerador e do denominador precisam ser iguais, certo? Então, ambos são positivos ou ambos negativos.
Se ambos forem positivos:
Mas dá pra um número ser menor que e maior do que ao mesmo tempo? Não dá, né? Então, vamos ver a outra possibilidade.
Se ambos forem negativos:
Então, pode assumir valores maiores ou iguais a e menores do que , ou seja:
Passo 5
Por fim, temos o item d):
Agora nossos radicandos precisam ser positivos e o denominador diferente de zero. Então:
Como nós vimos no item anterior, não para um número ser menor do que e maior do que ao mesmo tempo, então não existem valores de definidos em para a expressão. E podemos escrever:
Prontinho, galera! Até a próxima! 😉
Resposta
a)
b)
c)
d)