UFSC, Sem Campus, Pré-Cálculo, Listas Pré Cálculo - Lista 9, Questão 2f
Resolva em as inequações abaixo:
f)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
O enunciado nos deu a inequação com um quociente e pediu pra gente encontrar os valores de para os quais ela está definida no conjunto dos números reais (em ).
Então, o que nós vamos fazer é colocar tudo no mesmo denominador, e avaliar os sinais da função encontrando suas raízes.
Em seguida, nós vamos montar um quadro e fazer o estudo de sinal de cada termo e ver onde os intervalos satisfazem a inequação.
Vamos lá!
Passo 2
Temos a inequação:
Vamos começar tirando o m.m.c. pra colocar todo mundo no mesmo denominador:
Multiplicando termo a termo e simplificando:
Multiplicando os dois lados por e invertendo o sinal de desigualdade, temos:
Abrindo o produto do denominador:
Agora sim ficou mais bonitinho pra gente resolver. Você percebeu que a gente tem um equação do primeiro grau no numerador, que representa uma reta, e uma equação do segundo grau no denominador, que representa uma parábola? Então, vamos analisar cada uma delas.
Vamos começar analisando a equação do numerador e verificando os valores onde ela é igual a zero:
Simples assim, haha. Ela representa uma reta que passa pela origem:
Repare que ela começa negativa e, somente depois que passa por , ela se torna positiva. Mas agora nós estamos interessados em onde a função é negativa (ou nula), já que essa é a condição da inequação que encontramos.
Assim, temos o intervalo:
Passo 3
Pra segunda equação, que tá no denominador, temos:
Vamos encontrar as raízes simplesmente isolando :
Logo,
Vamos esboçar seu gráfico:
Agora vamos analisar o gráfico. Repare que aqui a função começa positiva até cortar o eixo em . Aí, ela passa a ser negativa até cortar o eixo novamente em . E depois de , a função volta a ser positiva.
Então, vamos escrever intervalo onde nossa função é negativa. Só que agora esse intervalo vai ser aberto dos dois lados, porque o denominador de uma fração nunca pode ser zero, então não podemos considerar os zeros da função, beleza?
E aí fica assim:
Passo 4
Beleza, agora vamos analisar como fica o quociente dessas duas funções, que é a nossa inequação:
Vamos pegar os intervalos e que nós encontramos nos passos anteriores e montar a nossa tabelinha para estudar os sinais:
Como a inequação nos diz que o quociente menor ou igual a zero, vamos selecionar os intervalos onde o sinal é negativo (olhando pra primeira linha da tabela). Assim, o nosso conjunto solução é:
Prontinho, galera! Até a próxima! 😉