UFSC, Sem Campus, Pré-Cálculo, Listas Pré Cálculo - Lista 8, Questão 11cd
Resolva em as inequações abaixo:
c)
d)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
O enunciado nos deu algumas inequações (que são equações que não possuem igualdade, lembra?) e pediu pra gente resolver dentro do conjunto dos número reais, ou seja, em . Tá, mas como a gente resolve isso?
Como temos inequações do segundo grau (onde o expoente de é ), resolve-las significa encontrar os valores de que satisfazem essa condição de desigualdade. No nosso caso, a condição no item c) é:
E no item d):
Nós aprendemos que as equações do segundo grau formam uma parábola e nas inequações não é diferente. Nós estamos interessados em saber onde elas serão positivas ou negativas. Mas como vamos resolver isso?
Primeiro vamos encontrar os valores onde nossa equação é igual a zero, que serão os pontos onde o nosso gráfico encosta no eixo . Depois nós vamos determinar o crescimento da função observando o coeficiente do (que chamamos de ) e, em seguida, estudar os sinais do gráfico para definir o nosso conjunto solução.
Vamos lá!
Passo 2
Começando com o item c, onde temos:
Para a nossa equação, temos:
Encontrando as raízes dessa equação usando Bhaskara:
Logo,
Olhando pro valor de (que é o coeficiente de ), temos , um valor negativo. Isso significa que a nossa função será voltada para baixo. O esboço do nosso gráfico fica assim:
Repare que a nossa função começa negativa, até cruzar o eixo em . Depois ela é positiva de até , onde cruza o eixo de novo e passa a ser negativa.
Como enunciado quer saber os valores de que tornam essa equação positiva, a resposta é o nosso conjunto solução:
Passo 3
Agora vamos analisar a letra d):
O primeiro passo é tentar encontrar as raízes da equação do segundo grau:
Usando Bhaskara:
Temos as raízes:
Olhando agora pra nossa função, nós temos . Como o coeficiente é negativo, a nossa parábola fica virada para baixo:
Repare que ela é negativa até , quando cruza o eixo . Depois passa a ser positiva até , quando cruza novamente o eixo .
Como enunciado quer saber os valores de que tornam essa equação maior ou igual a zero, a gente inclui as raízes encontradas. E temos o conjunto solução onde a função é positiva e igual a zero:
Prontinho, galera! Até a próxima! 😉
Resposta
c)
d)