UFSC, Sem Campus, Pré-Cálculo, Listas Pré Cálculo - Lista 8, Questão 10cd
Resolva em as inequações abaixo:
c)
d)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
O enunciado nos deu algumas inequações (que são equações que não possuem igualdade, lembra?) e pediu pra gente resolver dentro do conjunto dos número reais, ou seja, em . Tá, mas como a gente resolve isso?
Como temos inequações do primeiro grau (onde o expoente de é ), resolve-las significa encontrar os valores de que satisfazem essa condição de desigualdade. No nosso caso, a condição no item c é:
E no item d:
Quando nós temos um quociente e uma desigualdade, nós precisamos avaliar os sinais tanto do numerador, quanto do denominador, que satisfaçam aquela condição.
No caso do item c, como o quociente é menor do que zero (negativo), numerador e denominador precisam ter sinais diferentes. No item d, nós também conseguimos chegar numa relação menor do que zero subtraindo dos dois lados.
Dessa forma, o que nós vamos fazer é avaliar cada caso para encontrar os valores de que satisfaçam a condição de desigualdade e escreve-los juntos em um conjunto solução.
Vamos lá!
Passo 2
Começando com o item c, onde temos:
Como o nosso quociente é nos fornece um valor negativo (menor do que zero), vamos considerar o caso em que numerador e denominador tenham sinais diferentes:
Isolando o nas duas equações, temos:
Repare que na primeira condição, temos e na segunda . Então, a interseção desses dois intervalos vai nos dá:
Certo?
Passo 3
Agora vamos trocar os sinais do numerador e do denominador. Temos:
Isolando o em ambas as equações:
E temos novamente a interseção de e no conjunto:
Assim, nossa solução vai ser a união desses dois conjuntos, que é a mesma coisa:
Passo 4
Agora vamos resolver o item d:
Vamos começar subtraindo dos dois lados:
Resolvendo, temos:
Agora vamos dar uma arrumadinha, tirando o m.m.c.:
Agora repare que o nosso quociente é menor do que zero, então ele é negativo. E aí nós sabemos que pra que essa desigualdade ser satisfeita, numerador e denominador precisam ter sinais diferentes. Logo, podemos escrever no primeiro caso:
Agora vamos isolar nas duas equações:
Lembra que quando troca o sinal, a gente muda o sinal da desigualdade, beleza? No denominador, temos:
Sendo assim, o precisa ser menor do que . Então, temos o conjunto:
Passo 5
Trocando os sinais agora, temos a segunda possibilidade de os sinais serem diferentes:
Então, isolando :
E
Como precisa ser maior que , nesse caso, temos:
Juntando tudo, temos nosso conjunto solução da inequação :
Prontinho, galera! Até a próxima! 😉
Resposta
a)
b)