UFSC, Sem Campus, Pré-Cálculo, Listas Pré Cálculo - Lista 9, Questão 2a
Resolva em as inequações abaixo:
a)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
O enunciado nos deu a inequação de segundo grau com um quociente e pediu pra gente encontrar os valores de para os quais elas estão definidas no conjunto dos números reais (em ).
Então, o que nós vamos fazer é encontrar as raízes de cada equação do segundo grau, pra a partir daí montar o gráfico e verificar os intervalos onde a função é negativa ou positiva. Em seguida, nós vamos montar um quadro e fazer o estudo de sinal de cada produto e ver quais os intervalos que satisfazem a inequação, que nesse caso são os locais onde a função é positiva.
Vamos lá!
Passo 2
Temos a inequação:
Pra encontrar as raízes da equação no numerador, vamos escrever:
Usando a fórmula de Bhaskara, temos:
Que nos dá as raízes:
Esboçando o gráfico dessa parábola, nós temos:
Repare que a função é positiva até , que é uma de suas raízes, onde ela encosta no eixo . Depois ela decresce e é negativa, passa no eixo em , volta a subir mas continua negativa, até atravessar de novo o eixo em , onde volta a ser positiva. Escrevendo esses dois trechos onde a função é positiva em forma de intervalo, temos:
Passo 3
Pra segunda equação, que tá no denominador, temos:
Vamos encontrar as raízes usando Bhaskara novamente:
Resolvendo:
Já sabemos onde a função toca o eixo (em e ), agora vamos esboçar seu gráfico:
Agora vamos analisar o gráfico. Repare que aqui a função começa positiva, corta o eixo na sua raiz , e passa a ser negativa até , onde ela corta o eixo novamente. Depois de , a função volta a ser positiva. Então, o intervalo onde nossa função é positiva vai ser a união desses dois intervalos:
Passo 4
Beleza, agora vamos analisar como fica o quociente dessas duas funções, que é a nossa inequação:
Vamos pegar os intervalos e que nós encontramos nos passos anteriores e montar a nossa tabelinha para estudar os sinais:
Como a inequação nos diz que o quociente maior do que zero, vamos selecionar os intervalos onde o sinal é positivo (olhando pra primeira linha da tabela). Assim, o nosso conjunto solução é:
Prontinho, galera! Até a próxima! 😉