UFSC, Sem Campus, Pré-Cálculo, Listas Pré Cálculo - Lista 8, Questão 10ij
Resolva em as inequações abaixo:
i)
j)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
O enunciado nos deu algumas inequações (que são equações que não possuem igualdade, lembra?) e pediu pra gente resolver dentro do conjunto dos número reais, ou seja, em . Tá, mas como a gente resolve isso?
Como temos inequações do primeiro grau (onde o expoente de é ), resolve-las significa encontrar os valores de que satisfazem essa condição de desigualdade. No nosso caso, a condição no item i) é:
E no item j):
Quando nós temos um quociente e uma desigualdade, nós precisamos avaliar os sinais tanto do numerador, quanto do denominador, que satisfaçam aquela condição.
Então vamos tentar colocar todo mundo no mesmo denominador, pra usar uma relação de desigualdade com o zero e definir os sinais da inequação. Nós vamos avaliar cada caso para encontrar os valores de que satisfaçam a condição de desigualdade, e escreve-los juntos em um conjunto solução.
Vamos lá!
Passo 2
Começando com o item i, onde temos:
A tentação de multiplicar “em cruz” é grande, mas isso não funciona com inequações. Então, vamos começar subtraindo dos dois lados:
Colocando todo mundo no mesmo denominador:
Quando um quociente de números reais é menor do que zero? Quando numerador e denominador possuem sinais diferentes. Então vamos avaliar os casos possíveis.
Primeiramente, temos:
Repare que o denominador é um produto de duas equações. E quando um produto de dois números reais é maior do que zero? Quando eles possuem ambos sinais positivos ou ambos sinais negativos. Então também vamos considerar os dois casos.
Quando ambos são positivos, temos:
Quando ambos são negativos:
Mas nós sabemos que tem que ser maior do que zero, pela condição do numerador. Então, os valores de que satisfazem simultaneamente as condições das inequações estão no conjunto:
Passo 3
E se agora o numerador for positivo e o denominador negativo? Teríamos:
Como o denominador é um produto, temos que considerar os casos em que cada termo possui sinais diferentes. Assim,
Ou
Da interseção desses intervalos, nós tiramos:
Assim, nossa solução vai ser a união desses dos conjuntos e :
Passo 4
Agora vamos resolver o item j:
Vamos começar subtraindo dos dois lados:
Agora vamos colocar tudo no mesmo denominador, tirando o m.m.c.:
Multiplicando termo a termo no numerador, temos:
Agora sim podemos avaliar o sinal. Repare que o nosso quociente vai nos dar um valor menor ou igual a zero. Logo, numerador e denominador precisam ter sinais diferentes. Mas lembre-se que o denominador nunca pode ser zero.
Dessa forma, temos:
Da primeira equação, temos:
Do produto precisamos avaliar quando ele será positivo. Isso vai acontecer quando ambos os termos forem positivos ou ambos negativos. Assim:
Ou
Como do numerador, temos , a interseção desses conjuntos nos dá:
Passo 5
E se agora o numerador for positivo e o denominador negativo? Teríamos:
Como o denominador é um produto, temos que considerar os casos em que cada termo possui sinais diferentes. Assim,
Ou
Da interseção desses intervalos, nós tiramos:
Assim, nossa solução vai ser a união desses dos conjuntos e:
Prontinho, galera! Até a próxima! 😉
Resposta
i)
j)