UFSC, Sem Campus, Pré-Cálculo, Listas Pré Cálculo - Lista 9, Questão 2d
Resolva em as inequações abaixo:
d)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
O enunciado nos deu a inequação de segundo grau com um quociente e pediu pra gente encontrar os valores de para os quais ela está definida no conjunto dos números reais (em ).
Então, o que nós vamos fazer é encontrar as raízes de cada equação do segundo grau, pra a partir daí montar o gráfico e verificar os intervalos onde a função é negativa ou positiva.
Em seguida, nós vamos montar um quadro e fazer o estudo de sinal de cada produto e ver quais os intervalos que satisfazem a inequação.
Vamos lá!
Passo 2
Temos a inequação:
Como não temos zero do outro lado da inequação, vamos começar somando dos dois lados:
Agora vamos colocar tudo no mesmo denominador tirando o m.m.c.:
Agora sim, podemos encontrar as raízes da equação em cada termo. Começando com o numerador, vamos escrever:
Usando a fórmula de Bhaskara, temos:
Que nos dá as raízes:
Esboçando o gráfico dessa parábola, nós temos:
Repare que a função é positiva até , que é uma de suas raízes, onde ela cruza o eixo . Depois ela passa a ser negativa, até atravessar de novo o eixo em , onde volta a ser positiva. Escrevendo esses dois trechos onde a função é positiva em forma de intervalo, temos:
Percebeu que nós escrevemos o intervalo fechado em e ? Isso acontece porque a nossa inequação nos diz que ela é maior ou igual a zero, então consideramos também suas raízes.
Passo 3
Pra segunda equação, que tá no denominador, temos:
Vamos encontrar as raízes usando Bhaskara novamente:
Resolvendo:
Já sabemos onde a função toca o eixo (em e ), agora vamos esboçar seu gráfico:
Agora vamos analisar o gráfico. Repare que aqui a função começa negativa até cortar o eixo em . Aí, ela passa a ser positiva até cortar o eixo novamente em . Depois de , a função volta a ser negativa.
Então, vamos escrever intervalo onde nossa função é positiva. Só que agora esse intervalo vai ser aberto dos dois lados, porque o denominador de uma fração nunca pode ser zero, então não podemos considerar os zeros da função, beleza?
E aí fica assim:
Passo 4
Beleza, agora vamos analisar como fica o quociente dessas duas funções, que é a nossa inequação:
Vamos pegar os intervalos e que nós encontramos nos passos anteriores e montar a nossa tabelinha para estudar os sinais:
Como a inequação nos diz que o quociente maior ou igual a zero, vamos selecionar os intervalos onde o sinal é positivo (olhando pra primeira linha da tabela). Assim, o nosso conjunto solução é:
Prontinho, galera! Até a próxima! 😉