UFSC, Sem Campus, Pré-Cálculo, Listas Pré Cálculo - Lista 8, Questão 10gh
Resolva em as inequações abaixo:
g)
h)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
O enunciado nos deu algumas inequações (que são equações que não possuem igualdade, lembra?) e pediu pra gente resolver dentro do conjunto dos número reais, ou seja, em . Tá, mas como a gente resolve isso?
Como temos inequações do primeiro grau (onde o expoente de é ), resolve-las significa encontrar os valores de que satisfazem essa condição de desigualdade. No nosso caso, a condição no item g) é:
E no item h):
Quando nós temos um quociente e uma desigualdade, nós precisamos avaliar os sinais tanto do numerador, quanto do denominador, que satisfaçam aquela condição.
Nos dois itens, nós temos uma relação menor do que zero e menor ou igual a zero, respectivamente. Dessa forma, nós vamos avaliar cada caso para encontrar os valores de que satisfaçam a condição de desigualdade, e escreve-los juntos em um conjunto solução.
Vamos lá!
Passo 2
Começando com o item g, onde temos:
Quando um quociente de números reais é menor do que zero? Quando numerador e denominador possuem sinais diferentes. Então vamos avaliar os casos possíveis.
Primeiramente, temos:
Repare que o denominador é um produto de duas equações. E quando um produto de dois números reais é maior do que zero? Quando eles possuem ambos sinais positivos ou ambos sinais negativos. Então também vamos considerar os dois casos.
Quando ambos são positivos, temos:
Quando ambos são negativos:
Unindo os dois resultados, temos o conjunto:
E do numerador, como calculamos lá em cima, temos .
Assim, os valores de que satisfazem simultaneamente as duas inequações estão na interseção dos conjuntos e . Nesse caso,
Passo 3
E se agora o numerador for positivo e o denominador negativo? Teríamos:
Como o denominador é um produto, temos considerar os casos em que cada termo possui sinais diferentes. Assim,
Ou
Da interseção desses intervalos, nós tiramos:
Assim, nossa solução vai ser a união desses dos conjuntos e :
Passo 4
Agora vamos resolver o item h:
Nesse caso, temos um quociente que nos fornece um número menor ou igual a zero. Então, o numerador pode ser positivo, negativo ou nulo, e o denominador pode ser positivo ou negativo, nunca igual a zero. Mas lembre que eles devem ter sinais diferentes.
Primeiramente, temos:
Repare que o denominador é um produto de duas equações. E quando um produto de dois números reais é maior do que zero? Quando eles possuem ambos sinais positivos ou ambos sinais negativos. Então também vamos considerar os dois casos.
Quando ambos são positivos, temos:
Quando ambos são negativos:
Unindo os dois resultados, temos o conjunto:
E do numerador, como calculamos lá em cima, temos .
Assim, os valores de que satisfazem simultaneamente as duas inequações estão na interseção dos conjuntos e . Nesse caso,
Passo 5
E se agora o numerador for positivo e o denominador negativo? Teríamos:
Como o denominador é um produto, temos que considerar os casos em que cada termo possui sinais diferentes. Assim,
Ou
Da interseção desses intervalos, nós tiramos:
Assim, nossa solução vai ser a união desses dos conjuntos e :
Prontinho, galera! Até a próxima! 😉
Resposta
g)
h)