Resolva em R as inequações abaixo:

c) ((x^2 - 1)^2 - 6 * (x^2 - 1) + 5 < 0)

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu uma inequação de quarto grau e pediu pra gente encontrar os valores de x para os quais ela está definida no conjunto dos números reais (em R ).

x 2 - 1 2 - 6 x 2 - 1 + 5 < 0

Então, nós precisamos encontrar os valores onde a função é negativa. Pra facilitar nossa vida e nos ajudar a verificar os sinais da função, vamos primeiro fazer a fatoração da equação e escrever ela como um produto. Em seguida, vamos verificar as raízes da equação e fazer o estudo de sinais.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar fatorando a expressão:

x 2 - 1 2 - 6 x 2 - 1 + 5 < 0

Chegamos no produto:

x + 2 x - 2 x + 6 x - 6 < 0

Agora vamos analisar cada equação.

Para x + 2 , temos:

x + 2 = 0

x = - 2

Para x - 2 , temos:

x - 2 = 0 → x = 2

Para x + 6 e x - 6 os gráficos são bem parecidos, mas só nos interessa saber onde eles são positivos ou negativos. Pra isso, temos:

x + 6 = 0 →   x = - 6

x - 6 = 0 →   x = 6

Então, nós sabemos que a função muda de sinal quando atravessa o eixo x . Como acontece antes de 6 . Vamos analisar cada intervalo pra ficar mais claro.

Passo 3

Verificando cada termo, vamos juntar todos os intervalos numa tabelinha e estudar o sinal das equações:

Como queremos:

x + 2 x - 2 x + 6 x - 6 < 0

Vamos selecionar os valores de x nos intervalos que satisfaçam a desigualdade (olhando pra primeira linha da tabela). Dessa forma, temos:

S = - 6 ,   - 2 ∪ 2 ,   6

Prontinho. Valeu, galera! 😉

Resposta

S = - 6 ,   - 2 ∪ 2 ,   6

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