UFSC, Sem Campus, Pré-Cálculo, Listas Pré Cálculo - Lista 9, Questão 8a
Resolva em as inequações abaixo:
a)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
O enunciado nos deu uma inequação de quarto grau e pediu pra gente encontrar os valores de para os quais ela está definida no conjunto dos números reais (em ).
Então, nós precisamos encontrar os valores onde a função é negativa (ou nula). Pra facilitar nossa vida e nos ajudar a verificar os sinais da função, vamos primeiro fazer a fatoração da equação e escrever ela como um produto. Em seguida, vamos verificar as raízes da equação e fazer o estudo de sinais.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar fatorando a equação:
Somando e subtraindo , não alteramos a equação, e temos:
Agrupando os termos:
Vamos colocar os termos semelhantes em evidência:
E chegamos no produto:
Passo 3
Agora vamos analisar cada termo, calculando suas raízes e esboçando os gráficos:
Repare que a função é positiva apenas de em diante. Como nossa inequação é menor ou igual a zero, nós queremos o intervalo onde a função é negativa, isso acontece em , como mostra o gráfico.
Para a segunda equação, temos:
Que é negativa no intervalo .
A nossa terceira equação nos dá:
Com o intervalo negativo em .
E por fim, temos:
Onde podemos escrever o intervalo .
Passo 4
Juntando todos esses intervalos numa tabelinha, vamos estudar o sinal das equações:
Como queremos:
Vamos selecionar os valores de nos intervalos que satisfaçam a desigualdade. Dessa forma, temos:
Prontinho. Valeu, galera! 😉