1. Resolva a desigualdade

| ( (x + 5) / (2 - x) ) ≤ 6

Encontre o conjunto solução e o ilustre sobre a reta real.

Passo 1

Olá, pessoal! Tudo bom? Aqui temos uma inequação para analisar e repara que ela está em módulo. Ou seja, essa desigualdade é equivalente a

- 6 ≤ x + 5 2 - x ≤ 6

Repara também que o denominiados dele tem um x , ou seja, o domínio dela não será todos os reais, pois o denominador não pode ser zero, logo x ≠ 2 . Então vamos ter duas condições possíveis para ele

2 - x > 0   e   2 - x < 0

Agora vamos analisar cada caso!

Passo 2

Quando 2 - x > 0 , temos:

- 6 2 - x ≤ x + 5 ≤ 6 2 - x

Logo,

- 12 + 6 x ≤ x + 5 ≤ 12 - 6 x

Analisando as desigualdades separadamente:

- 12 + 6 x ≤ x + 5

5 x ≤ 17

x ≤ 17 5

Para o outro lado,

x + 5 ≤ 12 - 6 x

7 x ≤ 7

x ≤ 1

Como x ≠ 2 . As regiões que serão satisfeitas são:

x ≤ 2

x ≤ 17 5

x ≤ 1

Ou seja, a desigualdade é valida para

x ≤ 1

Passo 3

Quando 2 - x < 0 , temos:

- 6 2 - x ≥ x + 5 ≥ 6 2 - x

Logo,

12 - 6 x ≤ x + 5 ≤ - 12 + 6 x

Analisando as desigualdades separadamente:

12 - 6 x ≤ x + 5

7 x ≥ 7

x ≥ 1

Para o outro lado,

x + 5 ≤ - 12 + 6 x

5 x ≥ 1 7

x ≥ 1 7 5

Ou seja, a desigualdade é valida para

x ≥ 17 5

Passo 4

Unindo os resultados obtidos, temos que o conjunto solução é x ∈ R : x ≤ 1   o u   x ≥ 17 5 .

Na notação de intervalo: - ∞ , 1 ∪ 17 5 , + ∞ .

E a figura fica assim,

Resposta

- ∞ , 1 ∪ 17 5 , + ∞

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