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Exercícios Resolvidos de Inequações Polinomiais

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - USP - Lista 1, Questão 7.21b

7.21. Prove as seguintes desigualdades:

(b) 2 x a r c t g x > l n 1 + x 2 , para todo x > 0

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema temos que provar algumas desigualdades. No item a) queremos provar que 2 x a r c t g x > l n 1 + x 2 para todo x > 0 .

Tem ideia de como fazemos isso? 🤔

Para provar essa inequação podemos tentar simplificá-la ou provar usando algumas propriedades numéricas.

Vamos tentar? 😁

Passo 2

Vamos tentar simplificar a inequação 2 x a r c t g x > l n 1 + x 2

passando o ln ⁡ 1 + x 2 dividindo o outro lado, temos

2 x a r c t g x l n 1 + x 2 > 1

Para verificar se 2 x a r c t g x l n 1 + x 2 é realmente maior que 1 quando x > 0 , podemos calcular o limite dessa função para x tendendo a 0 .

Concordamos que tanto no numerador quanto no denominador os valores são sempre maiores que 0 .

lim x → 0 ⁡ 2 x a r c t g x l n 1 + x 2 = 0 0

Aplicando a regra de L’Hopital

lim x → 0 ⁡ 2 x a r c t g x l n 1 + x 2 = lim x → 0 ⁡ d 2 x a r c t g x d x d l n 1 + x 2 d x

Pela regra do produto, temos

d 2 x a r c t g x d x = 2 a r c t g x + 2 x x 2 + 1

E pelo método de derivação polinomial

d l n 1 + x 2 d x = 2 x x 2 + 1

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Substituindo no limite.

lim x → 0 ⁡ 2 x a r c t g x l n 1 + x 2 = lim x → 0 ⁡ 2 a r c t g x + 2 x x 2 + 1 2 x x 2 + 1

lim x → 0 ⁡ a r c t g x + x x 2 + 1 x x 2 + 1

Manipulando esse limite, temos

lim x → 0 ⁡ a r c t g x + x x 2 + 1 x 2 + 1 x

lim x → 0 ⁡ x 2 + 1 a r c t g x + x x

Novamente aplicando a regra de L’Hopital...

lim x → 0 ⁡ d x 2 + 1 a r c t g x + x d x d x d x

Pela regra do produto...

d x 2 + 1 a r c t g x + x d x = 2 x a r c t g x + 1

d x d x = 1

Substituindo no limite

lim x → 0 ⁡ 2 x a r c t g x + 1 1

E finalmente aplicando o limite, temos

lim x → 0 ⁡ 2 x a r c t g x + 1 1 = 2 0 + 1 = 2

E por fim vemos que

2 x a r c t g x l n 1 + x 2 > 1

2 > 1

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

2 x a r c t g x > l n 1 + x 2

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