Resolva em R as inequações abaixo:

c) | 2x + 1 | + 4 - 3x > 0

d) | x + 1 | - x + 2 ≥ 0

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu algumas inequações envolvendo módulo e pediu pra gente encontrar os valores de x para os quais ela está definida no conjunto dos números reais (em R ).

Existe um teorema que nós vamos usar muito, que nos diz que se x pertence a R e a é um número real positivo, então nós podemos escrever x < a na forma:

- a < x < a

Sendo assim, o que nós vamos fazer é sempre tentar escrever a inequação nessa forma para encontrar o intervalo onde x tá variando, beleza?

Vamos lá!

Passo 2

No item a), temos a inequação:

2 x + 1 + 4 - 3 x > 0

Agora nós precisamos encontrar os intervalos positivos e negativos da equação dentro do módulo, pra resolver a desigualdade em cada intervalo.

De acordo com o teorema, pra 2 x + 1 ≥ 0 , temos:

2 x + 1 ≥ 0 → x ≥ - 1 2

2 x + 1 < 0 → x < - 1 2

Agora vamos resolver a desigualdade em cada intervalo.

Para x ≥ - 1 2 , temos:

2 x + 1 + 4 - 3 x > 0

- x + 5 > 0

x < 5

Assim, pra esse caso, temos o intervalo:

S 1 = - 1 2 ,   5

Agora para x < - 1 2 , temos:

- 2 x - 1 + 4 - 3 x > 0

- 5 x + 3 > 0

x < 3 5

E temos o intervalo:

S 2 = - ∞ ,   - 1 2

Juntando os intervalos que se sobrepõem, temos nosso conjunto solução:

S = S 1 ∪ S 2 = ( - ∞ ,   5 )

Vamos para a próxima!

Passo 3

Na letra d), nós temos:

x + 1 - x + 2 ≥ 0

Usando a propriedade do passo 1 no módulo, temos:

x + 1 ≥ 0 → x ≥ - 1

x + 1 < 0 → x < - 1

Agora vamos avaliar a equação para cada caso.

Para x ≥ - 1 , temos:

x + 1 - x + 2 ≥ 0

3 ≥ 0

O que é verdadeiro para todo R , então temos:

S 1 = R

Para x < - 1 , temos:

- x - 1 - x + 2 ≥ 0

- 2 x ≥ - 1 → x ≥ 1 2

Como o primeiro intervalo já sobrepõe o intervalo dessa condição, temos o nosso conjunto solução:

S = R

Prontinho. Valeu, galera! 😉

Resposta

a) S = ( - ∞ ,   5 )

b) S = R

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