Resolva a desigualdade 6 - 3 x < 3 x . Encontre o conjunto solução e ilustre ele sobre a reta real.

Passo 1

Vamos lá. Pra começar, vamos ver a definição de módulo:

x = x ,     s e   x ≥ 0 - x ,     s e   x < 0

Como essa definição ajuda a gente? Bem, se aplicarmos ela pras funções em módulo que temos...

3 x = 3 x ,     s e   3 x ≥ 0 - 3 x ,     s e   3 x < 0                   →           3 x = 3 x ,     s e   x ≥ 0 - 3 x ,     s e   x < 0

6 - 3 x = 6 - 3 x ,     s e   6 - 3 x ≥ 0 3 x - 6 ,     s e   6 - 3 x < 0                   →           6 - 3 x = 6 - 3 x ,     s e   x ≤ 2 3 x - 6 ,     s e   x > 2

... conseguimos analisar o problema em três casos:

x < 0

0 ≤ x ≤ 2

x > 2

Agora conseguimos nos livrar do módulo em cada caso e ver o que a questão nos reserva! Bora lá!

Passo 2

No primeiro caso, temos x < 0 . Nesse intervalo, a desigualdade vira:

6 - 3 x < 3 x

6 - 3 x < - 3 x

6 < 0

Opa, resultado maluco, não? Bem, isso diz pra gente que não tem conjunto solução nesse caso. Vamos ver o próximo então! No intervalo 0 ≤ x ≤ 2 a inequação se transporma em:

6 - 3 x < 3 x

6 - 3 x < 3 x

6 < 6 x

x > 1

Show, e pra fechar com chave de outro vamos ver o intervalo   x > 2 . Nele, a inequação se transforma em:

6 - 3 x < 3 x

3 x - 6 < 3 x

- 6 < 0

O que também é uma verdade! A interpretação desses resultados todos é a seguinte:

6 - 3 x < 3 x   é   f a l s o   s e   x < 0

6 - 3 x < 3 x   é   v e r d a d e i r o   e m   0 ≤ x ≤ 2   s o m e n t e   s e   x > 1

6 - 3 x < 3 x   é   s e m p r e   v e r d a d e i r o   e m   x > 2

O conjunto solução será então x > 1 já que ele é a condição para que a inequação esteja correta! Escrevemos sobre a reta real:

Passo 3

Na verdade mesmo já fechamos essa questão. Esse passo é só pra mostrar a interpretação gráfica dessa brincadeira. Seja:

f x = 6 - 3 x

g x = 3 x

Note pelo gráfico que só pra x > 1 que teremos:

f x < g x

6 - 3 x < 3 x

Resposta

x > 1

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