UFES, 2018.1, Lista 4, Q11a
11a) Seja definida por
A função está definida em ?
Passo 1
Fala pessoal!!
Antes de tudo, o que será que significa dizer que uma função está definida em ?
Bom, significa que para qualquer , existe . Ou seja, não há nenhum ponto dos Reais no qual a função tenha alguma indeterminação matemática, ou não possua um valor finito.
Passo 2
Massa! Agora que já sabemos disso, como analisar se está definida em todos os pontos dos Reais?
Precisamos analisar a sua lei de formação.
Para e , vemos que é definida por uma divisão de dois polinômios.
Os polinômios, separadamente, são definidos em . O único problema é que, como se trata de uma divisão e não podemos dividir por zero, precisamos analisar onde estão as raízes reais de
Aqui precisamos ser um pouco malandros, porque não é à toa que a função é definida de forma diferente em e .
Bora testar se esses valores são raízes de , aposto que vai ser hein!
Ótimo! Os dois valores são mesmo raízes do polinômio, podemos agora fatorar e descobrir a terceira raiz:
Ou seja, é raiz dupla de .
Passo 3
Perfeito então. Porque os únicos valores que poderiam zerar o denominador e trazer indeterminação pra algum ponto de são justamente os pontos que estão definidos separadamente na lei de formação.
É tudo feito pra dar certo, gente! 😊
Prontinho, está definida em .
Resposta
Sim, está definida em .