UFES, 2018.1, Lista 5, Q08
08) Calcule cada limite, quando possível. Caso conclua que o limite não existe, justifique.
Passo 1
Bora matar mais um limite pessoal!!
Primeiramente, precisamos testar se já dá pra resolver o limite substituindo . Daí:
Uma indeterminação matemática ☹
Vamos pensar em algum jeito de tirar essa indeterminação.
Passo 2
Essa questão é difícil, mas vamos dar um passo de cada vez.
O problema da indeterminação está nesse do denominador, ainda não dá pra ver como retirá-lo daí. A ideia geral nesse tipo de problema é fatorar tanto o numerador como o denominador.
Vamos fatorar o denominador para ver se surge algo que nos ajude.
Como é raiz, temos:
Beleza, até melhorou um pouco, porque agora basta conseguir tirar esse da jogada pra retirar a indeterminação. Mas ainda não tá dando pra ver como fazer isso né?! Então bora fatorar o numerador.
Já vou pedindo desculpas, mas agora precisamos mesmo usar um produto notável bem bem esquecido:
Temos que ter muita atenção pra conseguir entender essa parte. A ideia é fazer aparecer no numerador. Então olha, vamos chamar:
Bora usar o nosso produto notável:
Então, reescrevendo:
Apareceu o !
Passo 3
Agora já melhorou um pouco, pois usando as equações e podemos reescrever a expressão do limite:
Cancelando o famoso , chegamos a:
Passo 4
Pronto, finalmente podemos calcular o limite usando a nossa nova expressão:
Fazendo , vamos ter que:
Nossa, essa foi difícil! Mas conseguimos! O bizu é sempre seguir a ideia de fatorar numerador e denominador, em alguns casos vai ser mais difícil saber qual fatoração usar, mas se você fatorar certo a questão vai sair!
