7 – Calcule cada um dos limites abaixo.

h) lim x → a ⁡ x n - a n x - a

Passo 1

Ooii! Vamos resolver essa questão juntos?

Aqui vamos precisar relembrar a formula do Binômio de Newton, que é a seguinte.

a k - b k = ( a - b ) ∙ ( a k - 1 + a k - 2 ∙ b + a k - 3 ∙ b 2 + … + a 2 ∙ b k - 3 + a ∙ b k - 2 + b k - 1 )

Agora vamos para o nosso limite,

lim x → a ⁡ x n - a n x - a = lim x → a ⁡ x - a ∙ ( x n - 1 + x n - 2 ∙ a + x n - 3 ∙ a 2 + … + x 2 ∙ a n - 3 + x ∙ a n - 2 + a n - 1 ) x - a = lim x → a ⁡ ( x n - 1 + x n - 2 ∙ a + x n - 3 ∙ a 2 + … + x 2 ∙ a n - 3 + x ∙ a n - 2 + a n - 1 ) = a n - 1 + a n - 2 ∙ a + a n - 3 ∙ a 2 + … + a 2 ∙ a n - 3 + a ∙ a n - 2 + a n - 1 = a n - 1 + a n - 1 + a n - 1 + … + a n - 1 + a n - 1 + a n - 1 = n ∙ a n - 1

Aqui é importante perceber que na última linha o termo a n - 1 aparece n vezes o que nos permitiu simplificar o resultado.

Então é isso, pessoal, obrigado pela atenção e até a próxima.

Resposta

h) n ∙ a n - 1

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