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Exercícios Resolvidos de Introdução aos Limites e suas Propriedades

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Enunciado

UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Profº Ricardo Martins - Lista sobre Derivadas, Questão 8.31b

Calcule, caso existam, os seguintes limites:

b)

lim x → 0 + ⁡ sin ⁡ x x  

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para resolver o seguinte limite:

lim x → 0 + ⁡ sin ⁡ x x  

Para determinarmos o limite com precisão, precisamos fazer uma manipulação algébrica utilizando propriedades dos expoentes.

Quer saber como? Então bora junto!!

😉

Passo 2

Sabemos que a x = e ln ⁡ a x , logo:

sin ⁡ x x = e ln ⁡ sin ⁡ x x

Também é interessante a gente saber de uma regrinha dos logaritmos, em que ln ⁡ a x = x * ln ⁡ a , portanto:

e ln ⁡ sin ⁡ x x = e x * ln ⁡ sin ⁡ x

Assim, temos o seguinte limite:

lim x → 0 + ⁡ e x * ln ⁡ sin ⁡ x  

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra da cadeia no limite, que é dada da seguinte forma:

“Se lim u → b ⁡ f u = L e lim x → a ⁡ g x = b e f x é contínuo em x = b , então lim x → a ⁡ f g x = L ”

Assim, temos que:

u = lim x → 0 + ⁡ x * ln ⁡ sin ⁡ x

Vamos simplificar o termo x * ln ⁡ sin ⁡ x aplicando a regra de L’Hospital:

( ln ⁡ sin ⁡ x ) ' ( 1 x ) ' = cot ⁡ x - 1 x 2

Aplicando novamente a regra de L’Hospital, temos:

( cot ⁡ x ) ' - 1 x 2 ' = 2 x sec 2 ⁡ x

Aplicando no limite, temos:

u = lim x → 0 + ⁡ 2 x sec 2 ⁡ x ∴

u = 2 * 0 sec 2 ⁡ 0 ∴

u = 0

Por outro lado, vamos resolver o outro limite:

lim u → 0 + ⁡ e u = lim u → 0 ⁡ e 0 = 1

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

lim x → 0 + ⁡ sin ⁡ x x   = 1

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Mostre por meio de um exemplo que lim x → a ��� f x + g ( x ) ��� pode existir mesmo que nem lim x → a ⁡ f ( x ) nem lim x → a ⁡ g ( x ) existam.