Calcule

lim x → 1 ⁡ x x - 1 - 1 ln ⁡ x

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para resolver o seguinte limite:

lim x → 1 ⁡ x x - 1 - 1 ln ⁡ x

Para isso, não podemos simplesmente substituir x por 1 pois haverá uma indeterminação (divisão por zero).

Nesse caso, precisamos primeiramente simplificar a expressão que está dentro do limite.

Para isso, vamos deixar e uma só fração:

lim x → 1 ⁡ x ln ⁡ x - x + 1 x - 1 ln ⁡ x

Agora temos que aplicar a Regra de L’Hospital, ou seja, devemos derivar o numerador e o denominador para assim prosseguir com o limite!!

Quer saber como? Então bora junto!!

😉

Passo 2

Aplicando a regra de L’Hospital, vamos derivar primeiramente o numerador:

x ln ⁡ x - x + 1 ' = d d x x ln ⁡ x - d d x x + d d x 1 ∴

x ln ⁡ x - x + 1 ' = ln ⁡ x + 1 - 1 + 0 ∴

x ln ⁡ x - x + 1 ' = ln ⁡ x

Agora, derivando o denominador utilizando a regra do produto, temos:

x - 1 ln ⁡ x ' = d d x x - 1 * ln ⁡ x + x - 1 * d d x ln ⁡ x ∴

x - 1 ln ⁡ x ' = x - 1 x + ln ⁡ x

Agora vamos aplicar no limite!!

Passo 3

Assim, temos o seguinte limite:

lim x → 1 ⁡ ln ⁡ x x - 1 x + ln ⁡ x

Ainda continuamos com a indeterminação do tipo 0 0 .

Dessa forma, podemos aplicar L’Hospital novamente!!

Derivando o numerador e denominador, encontraremos o seguinte limite:

lim x → 1 ⁡ 1 x 1 x 2 + 1 x

Aplicando o limite, temos:

= 1 1 1 1 2 + 1 1 ∴

= 1 2

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

lim x → 1 ⁡ x x - 1 - 1 ln ⁡ x = 1 2

Exercícios de Livros Relacionados

Para o limite x 3 + x + 1 = 3 , use um gráfico para determinar o valor do δ correspondente a ε = 0,4 .Usando um sistema de computação algébrica para resolver a equação x 3 + x + 1 = 3 + ε , determine
Demonstre cada afirmação usando a definição ε , δ de limite e ilustre com um diagrama como o da Figura 9. lim x → 1 ⁡ 2 x + 3 = 5
Demonstre cada afirmação usando a definição ε , δ de limite. lim x → 6 ⁡ x 4 + 3 = 9 2
Para o limite: lim x → 0 ⁡ e x - 1 x = 1 Ilustre a Definição 2 encontrando os valores de δ que correspondam a ε = 0,5 e ε = 0,1 .
Mostre por meio de um exemplo que lim x → a ��� f x + g ( x ) ��� pode existir mesmo que nem lim x → a ⁡ f ( x ) nem lim x → a ⁡ g ( x ) existam.