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Exercícios Resolvidos de Introdução aos Limites e suas Propriedades

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Enunciado

UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Profº Ricardo Martins - Lista sobre Derivadas, Questão 8.24

Calcule

lim x → 1 ⁡ x x - 1 - 1 ln ⁡ x

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para resolver o seguinte limite:

lim x → 1 ⁡ x x - 1 - 1 ln ⁡ x

Para isso, não podemos simplesmente substituir x por 1 pois haverá uma indeterminação (divisão por zero).

Nesse caso, precisamos primeiramente simplificar a expressão que está dentro do limite.

Para isso, vamos deixar e uma só fração:

lim x → 1 ⁡ x ln ⁡ x - x + 1 x - 1 ln ⁡ x

Agora temos que aplicar a Regra de L’Hospital, ou seja, devemos derivar o numerador e o denominador para assim prosseguir com o limite!!

Quer saber como? Então bora junto!!

😉

Passo 2

Aplicando a regra de L’Hospital, vamos derivar primeiramente o numerador:

x ln ⁡ x - x + 1 ' = d d x x ln ⁡ x - d d x x + d d x 1 ∴

x ln ⁡ x - x + 1 ' = ln ⁡ x + 1 - 1 + 0 ∴

x ln ⁡ x - x + 1 ' = ln ⁡ x

Agora, derivando o denominador utilizando a regra do produto, temos:

x - 1 ln ⁡ x ' = d d x x - 1 * ln ⁡ x + x - 1 * d d x ln ⁡ x ∴

x - 1 ln ⁡ x ' = x - 1 x + ln ⁡ x

Agora vamos aplicar no limite!!

Passo 3

Assim, temos o seguinte limite:

lim x → 1 ⁡ ln ⁡ x x - 1 x + ln ⁡ x

Ainda continuamos com a indeterminação do tipo 0 0 .

Dessa forma, podemos aplicar L’Hospital novamente!!

Derivando o numerador e denominador, encontraremos o seguinte limite:

lim x → 1 ⁡ 1 x 1 x 2 + 1 x

Aplicando o limite, temos:

= 1 1 1 1 2 + 1 1 ∴

= 1 2

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

lim x → 1 ⁡ x x - 1 - 1 ln ⁡ x = 1 2

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