Calcule

lim x → 0 ⁡ cos ⁡ 3 x 5 / x  

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para resolver o seguinte limite:

lim x → 0 ⁡ cos ⁡ 3 x 5 / x  

Para isso, não podemos simplesmente substituir x por 0 pois haverá uma indeterminação ali no expoente (divisão por zero).

Nesse caso, precisamos fazer uma manipulação algébrica utilizando propriedades dos expoentes.

Quer saber como? Então bora junto!!

😉

Passo 2

Sabemos que a x = e ln ⁡ a x , logo:

cos ⁡ 3 x 5 / x = e ln ⁡ cos ⁡ 3 x 5 / x

Também é interessante a gente saber de uma regrinha dos logaritmos, em que ln ⁡ a x = x * ln ⁡ a , portanto:

e ln ⁡ cos ⁡ 3 x 5 / x = e 5 x * ln ⁡ cos ⁡ 3 x

Assim, temos o seguinte limite:

lim x → 0 ⁡ e 5 x * ln ⁡ cos ⁡ 3 x

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra da cadeia no limite, que é dada da seguinte forma:

“Se lim u → b ⁡ f u = L e lim x → a ⁡ g x = b e f x é contínuo em x = b , então lim x → a ⁡ f g x = L

Assim, temos que:

u = lim x → 0 ⁡ 5 x * ln ⁡ cos ⁡ 3 x

Vamos simplificar o termo 5 x * ln ⁡ cos ⁡ 3 x aplicando a regra de L’Hospital:

( 5 * ln ⁡ cos ⁡ 3 x ) ' ( x ) ' = - 15 tan ⁡ 3 x

Aplicando no limite, temos:

u = lim x → 0 ⁡ 5 x * ln ⁡ cos ⁡ 3 x ∴

u = - 15 tan ⁡ 3 * 0 ∴

u = 0

Por outro lado, vamos resolver o outro limite:

lim u → 0 ⁡ e u = lim u → 0 ⁡ e 0 = 1

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

lim x → 0 ⁡ cos ⁡ 3 x 5 / x   = 1

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Demonstre cada afirmação usando a definição ε , δ de limite e ilustre com um diagrama como o da Figura 9. lim x → 1 ⁡ 2 x + 3 = 5
Demonstre cada afirmação usando a definição ε , δ de limite. lim x → 6 ⁡ x 4 + 3 = 9 2
Para o limite: lim x → 0 ⁡ e x - 1 x = 1 Ilustre a Definição 2 encontrando os valores de δ que correspondam a ε = 0,5 e ε = 0,1 .
Mostre por meio de um exemplo que lim x → a ��� f x + g ( x ) ��� pode existir mesmo que nem lim x → a ⁡ f ( x ) nem lim x → a ⁡ g ( x ) existam.