Calcule os seguintes limites. Justifique suas respostas.

lim(x→5) (1/x - 1/5) / (x - 5)

Passo 1

Olá pessoal, como vai a vida? Espero que esteja bem! Vamos pra mais uma questão??

A nossa questão deseja saber qual é o limite de 1 x   -   1 5 x   - 5 quando x tende a 5 .

O que devemos fazer primeiro??? Lembrando que chorar não é uma opção agora hahaha

Vamos inicialmente começar da forma tradicional, apenas substituindo os valores.

Então,

l i m x → 5 1 x   -   1 5 x   - 5 =   1 5 -   1 5 5 - 5   =   0 0

Vishh, temos aqui uma indeterminação 0 0 . Normalmente essa indeterminação ocorre pela presença de parcelas iguais tanto no numerador quanto no denominador que estão zerando a nossa equação. Em resumo, precisamos de uma estratégia para impedir que essa indeterminação ocorra.

Passo 2

Dessa forma, vamos simplificar a nossa equação:

1 x   -   1 5 x   - 5   =   5 - x 5 x x - 5   =   - (   x   - 5 ) 5 x   ⋅ 1 ( x - 5 )   =   - 1 5 x

Assim, conseguimos identificar e nos livrar da parcela que estava sendo a causa da indeterminação. Logo, deveremos calcular apenas o limite de :

l i m x → 5 - 1 5 x   =   - 1 25

Lembrando que l i m x → a k   =   k , sendo k uma constante.

Resposta

l i m x → 5 1 x   -   1 5 x   - 5   =   - 1 25

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