Calcule os seguintes limites. Justifique suas respostas.

lim(x → -1) (x² + 2x + 1) / (x^4 - 1)

Passo 1

Oiiii, seus maravilhosos! Temos que calcular o limite da nossa equação x ² + 2 x + 1 x 4   -   1 quando o x tende a - 1 . O primeiro passo que iremos fazer é substituir esse valor na nossa equação, assim:

l i m x → - 1 x ² + 2 x + 1 x 4 -   1 =   l i m x → - 1 ( - 1 ) ² + 2 ( - 1 ) + 1 ( - 1 ) 4   -   1 =   l i m x → - 1 1 - 2 + 1 1 - 1 l i m x → - 2 0 0    

Logo, observa-se que temos uma indeterminação, portanto, serão necessárias estratégias para fugir dessa indeterminação.

Passo 2

Uma estratégia realizada costumeiramente para solucionar os problemas de indeterminação é a fatoração polinomial. E utilizamos essa estratégia porque normalmente a indeterminação é causada pela presença de parcelas iguais zerando tanto o numerador quanto o denominador.

Desse modo fatorando a nossa equação, temos que:

x ² + 2 x   + 1 x 4 - 1 = ( x + 1 ) ² ( x ² + 1 ) ( x - 1 ) ( x + 1 )

Vemos que a parcela ( x + 1 ) apareceu tanto no denominador quanto no numerador e essa é a parcela que está ocasionando a nossa indeterminação, ou seja, deveremos fazer a simplificação dessa expressão.

A nossa equação agora será:

( x + 1 ) ( x ² + 1 ) ( x - 1 )

Passo 3

Agora que simplificamos a expressão iremos calcular o limite dessa nova equação:

l i m x → - 1 ( x + 1 ) ( x ² + 1 ) ( x - 1 ) =   l i m x → - 1 ( - 1 + 1 ) ( ( - 1 ) ² + 1 ) ( - 1 - 1 ) =   l i m x → - 1 0 =   0

Lembrando que l i m x → a k   =   k !

Tudo certo? Espero ter ajudado :)

Bons Estudos!

Resposta

0

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