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Exercícios Resolvidos de Introdução aos Limites e suas Propriedades

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Enunciado

UERJ, Sem Campus, Cálculo I, Listas de Cálculo 1 - Profº Hamilton Simões - Lista 1, Questão 7

Considere a função g x = 1 ,     s e   x   é   r a c i o n a l - 1 ,     s e   x   é   i r r a c i o n a l

O que se pode afirmar sobre lim x → 0 ⁡ x 4 * g x ?

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos dá o seguinte limite:

lim x → 0 ⁡ x 4 * g x

Onde g x é uma função dada da seguinte forma:

g x = 1 ,     s e   x   é   r a c i o n a l - 1 ,     s e   x   é   i r r a c i o n a l

Para determinarmos o limite, vamos analisar os dois casos: Se x for um número racional e se x for irracional.

E aí? Bora lá?

😉

Passo 2

Então... Primeiramente vamos notar que x 4 sempre será um termo positivo, independente do x ser racional ou irracional.

Vamos considerar x = a b como um número racional, ou seja:

x 4 * g x = a b 4 * 1 = a 4 b 4

À medida que x se aproxima de 0 , a tamém se aproxima de 0 .

Dessa forma, o termo a 4 b 4 também se aproxima de 0 .

Passo 3

Por outro lado, para x irracional, temos:

lim x → 0 ⁡ x 4 * g x = lim x → 0 ⁡ x 4 * - 1 ∴

= - lim x → 0 ⁡ x 4 ∴

= 0

Perceba que o limite é zero, já que x 4 tende a zero quando x se aproxima de zero.

Portanto, independente de x ser racional ou irracional, o limite será sempre igual a zero!!

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

lim x → 0 ⁡ x 4 * g x = 0

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Demonstre cada afirmação usando a definição ε , δ de limite e ilustre com um diagrama como o da Figura 9. lim x → 1 ⁡ 2 x + 3 = 5
Demonstre cada afirmação usando a definição ε , δ de limite. lim x → 6 ⁡ x 4 + 3 = 9 2
Para o limite: lim x → 0 ⁡ e x - 1 x = 1 Ilustre a Definição 2 encontrando os valores de δ que correspondam a ε = 0,5 e ε = 0,1 .
Mostre por meio de um exemplo que lim x → a ��� f x + g ( x ) ��� pode existir mesmo que nem lim x → a ⁡ f ( x ) nem lim x → a ⁡ g ( x ) existam.