Demonstre, utilizando a definição de limite, que:

  1. lim x → 4 ⁡ x 2 = 16
  2. lim x → - 1 ⁡ 11 x + 5 = - 6
  3. lim x → 2 ⁡ 8 3 = 8 3
  4. lim x → 10 ⁡ x 2 - 100 x - 10 = 20

Passo 1

Falaiii meus xuxus, bora fazer mais umazinha comigoo?

Simbora então

Vamos demonstrar que lim x → 10 ⁡ x 2 - 100 x - 10 = 20 utilizando a definição de limite.

A definição formal de limite diz que para qualquer ε > 0 , existe um δ   >   0 tal que, se 0 < x - 10 < δ , então x 2 - 100 x - 10 - 20 < ε .

Começamos manipulando a expressão x 2 - 100 x - 10 - 20 < ε para facilitar nossos cálculos:

x 2 - 100 x - 10 - 20 = x 2 - 100 - 20 x - 10 x - 10

= x 2 - 100 - 20 x + 200 x - 10

= x 2 - 20 x + 100 x - 10

= x - 10 2 x - 10

= x - 10

Passo 2

Agora queremos garantir que | x   - �� 10 | < ε quando 0 < | x   -   10 | < δ .

Podemos fazer isso escolhendo δ   = ε .

Isso significa que quando 0 < | x   -   10 | < δ , teremos 0 < x   -   10 < ε , e consequentemente   0 < x   -   10 < ε .

Portanto, com δ = ε temos que 0 < x   -   10 < δ implica 0 < x   -   10 < ε o que, por sua vez, implica que x   -   10 < ε .

Isso nos leva a concluir que:

x 2 - 100 x - 10 - 20 < ε

cumprindo a definição de limite.

Portanto, demonstramos que lim x → 10 ⁡ x 2 - 100 x - 10 = 20 usando a definição de limite.

Resposta

Vide o passo a passo.

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