UFSCAR, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profª Vera Lúcia - Lista 2, Questão 1a
Demonstre, utilizando a definição de limite, que:
Passo 1
Falaaaaaai galerinha do responde ai,
Bora resolver essa junto comigo?
Queremos mostrar que usando a definição de limite.
Isso significa que, para qualquer valor positivo por menor que seja, deve haver um intervalo ao redor de onde os valores de fiquem próximos de (dentro da margem de
A definição formal diz que se, para cada existe um tal que, para todo se então
Passo 2
Agora, vamos seguir os passos da demonstração:
Vamo escolher e procurando
Dado nosso objetivo é encontrar um adequado.
Manipulando a expressão
Vamos começar pela expressão :
Simplificando
Para simplificar a expressão vamos analisar a região na qual deve estar.
Passo 3
Escolhemos de forma que
Isso implica que já que queremos que esteja a uma distância de
Assim, podemos afirmar que pois está restrito a um intervalo onde nunca excede .
Escolhendo um valor para
Agora, escolhemos de modo que
Se quisermos que seja menor que então queremos .
Passo 4
Determinando o valor de
Escolhemos de forma que
Isso nos leva a escolher , garantindo que quando a desigualdade
seja atendida.
Substituindo na condição :
Se , então
Passo 5
Portanto, escolhendo , conseguimos mostrar que sempre que , teremos .
Isso cumpre a definição de limite, demonstrando que
Lembre-se de que a escolha no passo 3 foi uma simplificação conveniente para a demonstração.
Em uma prova mais rigorosa, você precisaria ajustar de acordo com de uma maneira mais precisa.
Resposta
Vide o passo a passo.