Determine a > 0 sabendo que lim x → 0 ⁡ 1 3 a x - 1 x 2 + 3 a x = 1 18

Passo 1

Faaala pessoal 😊, vamos nos aprofundar em simplificações de polinômios nessa questão.

lim x → 0 ⁡ 1 3 a x - 1 x 2 + 3 a x = 1 18

Ok pessoal, nesse ponto a gente precisa tornar esse termo no formato de uma única fração, e então tentamos enxergar algum método de simplificação que nos elimine indeterminações.

lim x → 0 ⁡ 1 3 a x - 1 x 2 + 3 a x = lim x → 0 ⁡ x 2 + 3 a x - 3 a x 3 a x ( x 2 + 3 a x )

= lim x → 0 ⁡ x 2 3 a x x 2 + 3 a x

Daqui podemos evidenciar x² no denominador também, vejamos o que acontece:

= lim x → 0 ⁡ x ² 3 a x ² ( x + 3 a ) = lim x → 0 ⁡ 1 3 a ( x + 3 a )

Agora que nossa função é contínua no ponto, apliquemos x = 0

1 3 a ( x + 3 a ) = 1 3 a ( 0 + 3 a )

1 9 a ²

Visto que nosso limite se igualava a 1 18 , temos:

1 9 a ² = 1 18

a 2 = 2

a = 2

De boas assim 😊

Resposta

a = 2

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