16) Dê um exemplo com duas funções f e g tais que f seja contínua em x = 0 , g seja descontínua em x = 0 e, no entanto, f ⋅ g seja contínua em x = 0 .

Passo 1

Fala pessoal, bora fechar essa lista com chave de ouro!

Pô, tem que inventar um exemplo, será que precisa ser muito criativo? Na verdade, nessas horas quanto mais simples for o exemplo é até melhor rs.

Então, a ideia é escolher uma função f contínua que seja capaz de forçar o resultado de f ⋅ g independente da função g escolhida.

Qual é o número (ou função) que sempre que multiplicamos qualquer outro valor por ele, obtemos sempre a mesma resposta? Isso mesmo, é o zero!!

Por isso, já vamos deixar a nossa função f escolhida como sendo a função constante e nula em todo R .  

f x = 0 , para todo x ∈ R

Passo 2

Agora, já que garantimos que f ⋅ g será sempre nulo, e, portanto, contínua em x = 0 . Basta definirmos uma função g que seja descontínua em x = 0 .

Mas o Simples é o Belo gente, então vamos escolher:

g x = 1 ,     x ≠ 0 0 ,     x =   0

Logo, f ⋅ g resulta na própria função nula, que é contínua em x = 0 .

Resposta

f x = 0 , para todo x ∈ R

g x = 1 ,     x ≠ 0 0 ,     x =   0

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