USP; Cálculo 1; Prova 1 – 2021.2; Exercício 2
2) Para a função definida abaixo:
a) Encontre o domínio maximal para .
b) Considerando este domínio, faz sentido estudar o limite ?
Passo 1
Faaaaala, galerinha! Tudo certinho com vocês? Bora lá resolver mais uma questão!!
Para começarmos o cálculo do domínio desse exercício, vamos tentar entender alguns pontos que nossa função exige. Procuraremos por propriedades matemáticas que devemos seguir obrigatoriamente ou por pontos de indeterminação que devemos evitar.
Por exemplo, a raiz quadrada da nossa função não pode ser menor que .
Portanto:
Outro exemplo é que o denominador da função deve ser diferente de .
Portanto:
A partir de agora, podemos encontrar o domínio!
Passo 2
Nesse passo, vamos desenvolver para começarmos a definir o domínio.
Calculando:
Simplificando:
Podemos reescrever como:
Podemos considerar então que:
E que:
Por enquanto temos que nosso domínio dever ser .
Ou seja, qualquer valor menor que não está definido em .
Passo 3
Nesse passo, vamos desenvolver .
Para isso, podemos descobrir quando :
Calculando:
Reescrevendo, de forma fatorada:
Podemos considerar então que:
E que:
Essa equação do segundo grau possuí raízes fora do conjunto .
Mesmo assim, verificamos que torna o denominador igual a e, portanto, não faz parte do domínio.
Concluímos que o domínio é, portanto:
Passo 4
O item b) nos pergunta se faz sentido estudarmos o limite tendendo o infinito positivo.
A resposta é sim! A nossa função é definida no infinito positivo, portanto possibilita o estudo do limite.
Já para o infinito negativo não podemos dizer o mesmo. O domínio da nossa função não está definido no infinito negativo e, como você já deve estar pensando, não faz sentido o cálculo do limite nessa região.
Ufa! Terminamos!
Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?
Resposta
a)
b) Resposta no desenvolvimento acima.