UNICAMP – Cálculo 1 – Lista 3 – Limite e Continuidade
40. Prove que:
Passo 1
Falaaa... tudo bem??
Nessa questão vamos provar essa sentença.
Ela é diz que “limite de com tendendo a zero é igual a 0 se, se somente se, limite de , com tendendo a zero, é igual a zero.”
Como temos essa seta dupla, que significa “se, e somente se,” nós precisamos provar a ida e a voltar, ou seja...
Primeiro assumimos que e provamos que
Depois assumimos que e provamos que .
Passo 2
Primeiro vamos assumir que .
Repara que temos o módulo embaixo, então podemos usar os limites laterias (já que o está tendendo a zero).
Quando se aproxima de 0 pela esquerda, temos:
Quando se aproxima de pela direita, temos:
Podemos escrever:
E como consideramos ser verdade que , então os limites laterais existem e são iguais a zero também:
Pelo teorema do confronto:
Passo 3
Agora fazemos o contrário. Assumirmos ser verdade .
Como isso já é verdade, então os limites laterais existem e são iguais a zero, então:
Podemos escrever, sabendo que o limite está entre os seus limites laterais:
Pelo teorema do confronto, temos:
Portanto:
Como queríamos provar.
Resposta
Demonstração