40. Prove que: lim h → 0 ⁡ f h h = 0 ⟺ lim h → 0 ⁡ f h h = 0

Passo 1

Falaaa... tudo bem??

Nessa questão vamos provar essa sentença.

Ela é diz que “limite de f h h com h tendendo a zero é igual a 0 se, se somente se, limite de f h h , com h tendendo a zero, é igual a zero.”

Como temos essa seta dupla, que significa “se, e somente se,” nós precisamos provar a ida e a voltar, ou seja...

Primeiro assumimos que lim h → 0 ⁡ f h h = 0 e provamos que lim h → 0 ⁡ f h h = 0 .

Depois assumimos que lim h → 0 ⁡ f h h = 0 e provamos que lim h ��� 0 ⁡ f h h = 0 .

Passo 2

Primeiro vamos assumir que lim h → 0 ⁡ f h h = 0 .

Repara que temos o módulo embaixo, então podemos usar os limites laterias (já que o h está tendendo a zero).

Quando h se aproxima de 0 pela esquerda, temos:

lim h → 0 - ⁡ f h h = lim h → 0 - ⁡ f h - h

= - lim h → 0 - ⁡ f h h

Quando h se aproxima de 0 pela direita, temos:

lim h → 0 + ⁡ f h h = lim h → 0 + ⁡ f h h

Podemos escrever:

- lim h → 0 - ⁡ f h h ≤ lim h → 0 ⁡ f h h ≤ lim h → 0 + ⁡ f h h

E como consideramos ser verdade que lim h → 0 ⁡ f h h = 0 , então os limites laterais existem e são iguais a zero também:

- 0 ≤ lim h → 0 ⁡ f h h ≤ 0

Pelo teorema do confronto:

lim h → 0 ⁡ f h h = 0

Passo 3

Agora fazemos o contrário. Assumirmos ser verdade lim h → 0 ⁡ f h h = 0 .

Como isso já é verdade, então os limites laterais existem e são iguais a zero, então:

- lim h → 0 - ⁡ f h h = lim h → 0 + ⁡ f h h = 0

Podemos escrever, sabendo que o limite está entre os seus limites laterais:

lim h → 0 - ⁡ f h h ≤ lim h → 0 ⁡ f h h ≤ lim h → 0 + ⁡ f h h

0 ≤ lim h → 0 ⁡ f h h ≤ 0

Pelo teorema do confronto, temos:

lim h → 0 ⁡ f h h = 0

Portanto:

lim h → 0 ⁡ f h h = 0 ⟺ lim h → 0 ⁡ f h h = 0

Como queríamos provar.

Resposta

Demonstração

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