USP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profº Fernando Manfio - Lista 4, Questão 4
Prove que não existe.
Passo 1
Eaew, tudo certinho?
Precisamos provar que o seguinte limite não existe
mas como fazer isso? A existência do limite é definida uma vez que
em que é um número finito! No entanto, nem sempre verificar essa afirmação é simples! Neste caso em particular, vamos tentar usar a definição precisa de limite! Saca só!
Passo 2
A definição precisa de limite diz que
se para todo número houver um número tal que se
então
em nosso caso, temos que . Como a escolha sobre e são arbitrárias, vamos escolher algo que nos dê valores fáceis para a nossa função, e assim conseguirmos visualizar tudo de maneira mais direta! Em particular, temos que nossa função se anula quando
e, é simplesmente igual a quando
em que é um número inteiro qualquer. Mas de que forma isso nos ajuda? Saca só!
Passo 3
Como temos que , a seguinte condição deve ser respeitada
por exemplo, se precisamos que . Vamos tentar analisar as condições em conjunto! As condições para a existência do limite são
e
O que acontece se escolhermos ? Isso faz com que
de forma que podemos ter , e portanto, a relação
ou simplesmente
Ou seja, sempre que , será sempre possível escolher um de forma que a condição de limite não seja válida! Mas, e se Para verificar que isso também não funciona, note que ao escolhermos , as condições se tornam
note que se escolhermos qualquer , temos uma contradição! Ou seja, não é qualquer valor de que respeita às condições! E, sendo assim, o limite não existe! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!
Resposta
Ao longo dos passos!