UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Profº Ricardo Martins - Lista sobre Limites e Continuidade, Questão 6.9b
Seja
Encontre todos tais que
Passo 1
E aí galerinha, tudo na boa por aí?
Nessa questão temos uma função dada por:
Precisamos determinar para que valores de é obedecido:
Pra fazer isso vamos começar escrevendo uma expressão pra sem o módulo, isso facilita um pouco a nossa análise.
Depois, verificamos na expressão que chegamos, quais valores dão entre até .
Tranquilo? Vamo nessa!
Passo 2
Vamos agora escrever a expressão de sem o módulo. Temos:
Temos dois módulos nessa expressão. Vamos analisar cada um deles:
Já para o outro módulo, temos:
Logo, podemos dividir a nossa função em intervalos:
Substituindo o módulo pelo valor apropriado em cada um desses intervalos, vamos ter:
- :
- :
Perfeito galera! Podemos então definir nossa função por partes como:
Aí sim galerinha, muito bom 😊
Passo 3
Massa! Encontramos a função definida por partes como:
Olha que legal!! Se , então:
Daí, isso já está fora do intervalo pedido no enunciado. Lá, ele nos pede pra indicar valores de em que é maior que e menor ou igual a .
Show! Já anulamos uma parte do domínio!
Vamos agora verificar o intervalo :
Se , então o valor máximo que assume ocorre quando , em que temos:
Logo, todos os outros valores de nesse intervalo são menores que , e estão fora do intervalo de interesse.
Já se , temos que:
- Em , temos que:
Portanto, fora do intervalo.
- Em :
Logo está no nosso intervalo de interesse.
Resumindo, até agora os únicos valores de no nosso intervalo de interesse são:
Analisando o último intervalo, temos que:
Opa, perfeito! Pra qualquer nesse intervalo , e está dentro de:
Portanto, o intervalo em que deixa no intervalo pedido no enunciado, é:
Perfeito! Terminamos!!
Tchaaau galera 😊