UNICAMP – Cálculo 1 – Lista 3 – Limite e Continuidade
37. Sejam e duas funções com mesmo domínio tais que e para todo em , onde é um número real fixo. Prove que
Passo 1
Falaaa... tudo bem??
Nessa questão vamos provar que .
Como temos o módulo , podemos reescrever como:
Agora, com uma desigualdade com 3 funções, e a do meio é a , vamos usar o Teorema do Confronto, que diz que se temos as funções e e temos que:
E:
Então, resulta destas condições que:
Passo 2
Vamos pegar:
Multiplicando cada um por :
E aplicando o limite com tendendo a :
No meio já achamos o que queremos provar, então não vamos mais mexer nele.
Usando, nas pontas, a propriedade de limite que diz que o limite da multiplicação é a multiplicação dos limites:
Temos do enunciado que . E como é um número real fixo, ou seja, uma constante, então e . Substituindo:
Pelo teorema do confronto:
Como queríamos provar.
Resposta
Demonstração