37. Sejam f e g duas funções com mesmo domínio A tais que lim x → p ⁡ f x = 0 e g x ≤ M   para todo x em A , onde M > 0 é um número real fixo. Prove que

lim x → p ⁡ f x g x = 0 .

Passo 1

Falaaa... tudo bem??

Nessa questão vamos provar que lim x → p ⁡ f x g x = 0 .

Como temos o módulo g x ≤ M , podemos reescrever como:

- M ≤ g x ≤ M

Agora, com uma desigualdade com 3 funções, e a do meio é a g , vamos usar o Teorema do Confronto, que diz que se temos as funções p x ,   q x e r ( x ) e temos que:

lim x → a ⁡ p ( x ) = lim x → a ⁡ r x = L

E:

p x ≤ q x ≤ r x

Então, resulta destas condições que:

lim x → a ⁡ q x = L

Passo 2

Vamos pegar:

- M ≤ g x ≤ M

Multiplicando cada um por f ( x ) :

f x - M ≤ f x g x ≤ f x M

E aplicando o limite com x tendendo a p :

lim x → p ⁡ f x - M ≤ lim x → p ⁡ f x g x ≤ lim x → p ⁡ f x M

No meio já achamos o que queremos provar, então não vamos mais mexer nele.

Usando, nas pontas, a propriedade de limite que diz que o limite da multiplicação é a multiplicação dos limites:

lim x → p ⁡ f x lim x → p ⁡ - M ≤ lim x → p ⁡ f x g x ≤ lim x → p ⁡ f x lim x → p ⁡ M

Temos do enunciado que lim x → p ⁡ f x = 0 . E como M é um número real fixo, ou seja, uma constante, então lim x → p ⁡ - M = - M e lim x → p ⁡ M = M . Substituindo:

0 ⋅ - M ≤ lim x → p ⁡ f x g x ≤ 0 ⋅ M

0 ≤ lim x → p ⁡ f x g x ≤ 0

Pelo teorema do confronto:

lim x → p ⁡ f x g x = 0

Como queríamos provar.

Resposta

Demonstração

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