UFCG, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral III, Listas - Prof° Pammella Queiroz - Lista 1 - 2022.1, Questão 2.5ij
Use a definição de limite e prove que:
Passo 1
Faaala pessoal!
Faaaala galera, tudo na paz?
Nessa questão temos dois itens onde precisamos calcular limite de função de duas ou mais variáveis utilizando a definição.
Então, vamos dar uma revisada na definição formal de limite para funções de duas variáveis (depois adaptamos para o limite envolvendo :
Se e somente se:
Dado existe tal que e tem-se .
Simm, essa definição parece tão complexa né? Mas, vamos focar em pensar em como usamos ela pra resolver o nosso problema. Se queremos provar que:
Precisamos apenas mostrar que pra qualquer número que escolhermos, existe um outro número que iremos tomar como hipótese que obedece a:
De modo que será verdade que:
Essa última relação é a que vamos querer provar no final das contas. Beleza?
Então, vamo lá!
Passo 2
Vamos começar pelo item . Queremos provar que:
Lembrando da nossa definição formal, temos que:
Show, então para provar que esse limite vale , precisamos provar que:
Partindo de que é verdade a relação:
Ou seja:
Tranquilo?!
Então vamos la! Começando pela nossa expressão:
Usando a desigualdade triangular:
Observando a nossa relação para , temos:
Mas, como é verdade que:
Temos:
Analogamente, temos também:
Logo:
Porém, como a função seno é limitada, temos que:
Assim:
Logo, a conclusão que tiramos é que:
Como queremos provar a nossa relação para um qualquer, podemos dizer que para qualquer escolhido existe um tal que:
Então:
Ou seja:
E assim provamos que também existe um para a relação acima ser válida!
Excelente! Matamos o primeiro limite!
Passo 3
Vamos agora para o item . Queremos provar que:
Como temos uma função de variáveis, temos que adaptar um pouquinho. Continuamos precisando mostrar que existe um que torna a relação abaixo verdadeira:
Maaas, o que muda um pouco é a nossa relação envolvendo , pois agora temos:
Ou seja:
Tranquilo? Então vamo lá!
Vamos começar manipulando:
Podemos escrever que:
Usando a desigualdade triangular:
Porém, como:
Da relação envolvendo , podemos escrever que:
De modo análogo:
Substituindo tudo isso na nossa expressão, temos:
Ou seja, partindo lá do início chegamos que:
Como queremos provar a nossa relação para um qualquer, podemos dizer que para qualquer escolhido existe um tal que:
Então:
Ou seja:
E assim provamos que também existe um para a relação acima ser válida!
Perfeito galeraa!!
Matamos mais uma questão, obrigado pela atenção de vocês 😊
Resposta
Resposta no texto.