UFCG, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral III, Listas - Prof° Pammella Queiroz - Lista 1 - 2022.1, Questão 2.5ab
Use a definição de limite e prove que:
a)
b)
Passo 1
Faaala pessoal, tudo tranquilo?
Nessa questão temos dois itens onde precisamos calcular limite de função de duas variáveis utilizando a definição.
Então, vamos dar uma revisada na definição formal de limite:
Se e somente se:
Dado existe tal que e tem-se .
Simm, essa definição parece tão complexa né? Mas, vamos focar em pensar em como usamos ela pra resolver o nosso problema. Se queremos provar que:
Precisamos apenas mostrar que pra qualquer número que escolhermos, existe um outro número que iremos tomar como hipótese que obedece a:
De modo que será verdade que:
Essa última relação é a que vamos querer provar no final das contas. Beleza?
Então, vamo lá!
Passo 2
Bom, vamos começar pelo item a). Queremos provar que:
Lembrando da nossa definição formal, temos que:
Show, então para provar que esse limite vale , precisamos provar que:
Partindo de que é verdade a relação:
Ou seja:
Massa! Bora lá. A ideia é sempre tentarmos cair em alguma expressão que nos permita usar a relação acima. Mas, às vezes não é tão simples enxergar como encaixar a relação acima no problema.
Bom, temos que:
Ué, mas no que é que isso nos ajuda? Vem comigo...
Olha aí, já começou a aparecer algo que nos lembra a nossa expressão envolvendo . Agora, pensa assim:
Se
Como:
Temos:
Da mesma forma:
Podemos usar isso na nossa expressão principal:
Perfeito! Agora é só usarmos o último truque. Como queremos provar a nossa relação para um qualquer, podemos dizer que para qualquer escolhido existe um tal que:
E, a partir desse obtido forçamos o conjunto dos que satisfazem:
Daí, como vimos logo antes que para um dado número vale que:
Substituindo vamos ter:
Portanto:
Uhuuul! Com isso provamos que:
Perfeito!!
Passo 3
No item b) precisamos mostrar que:
A ideia é a mesma, mas como esse limite é mais complicadinho teremos um passo a mais. Temos:
Show, então para provar que esse limite vale , precisamos provar que:
Partindo de que é verdade a relação:
Ou seja:
Massa! Nosso primeiro passo é achar a relação entre e .
O que vamos escrever daqui em diante é tipo um rascunho da solução, a prova efetivamente só começa no próximo passo, beleza?
Temos:
Usando a desigualdade triangular:
Temos:
Colocando as constantes pra fora:
Além disso, do produto notável da diferença de quadrados temos que:
Substituindo, vem:
Massa! Agora podemos analisar o nosso .
Temos:
Mas:
Logo:
De modo análogo:
Substituindo na nossa expressão, ficamos com:
Ou seja, o nosso grande problema é esse termo . Pra sumir com ele vamos usar um truque bem truquento. Vamos restringir o nosso , na prática pegaremos o menor valor entre e a relação que encontraremos com .
Assim:
Somando em todos os lados da desigualdade, temos:
Ou seja:
Daí, substituindo na nossa expressão, ficamos com:
Então, resumindo a história, encontramos que:
Daí, como queremos provar a nossa relação para um qualquer, podemos dizer que para qualquer escolhido existe um tal que:
Massa! Na prática temos que:
Agora que encontramos o vamos fazer a nossa prova formal no próximo passo:
Passo 4
Então vamos lá! Queremos provar que para um número escolhido, vale que:
Vamos desenvolver o lado esquerdo até chegar na desigualdade, lembrando que partimos de que é verdade:
Bora lá!
Abrindo o módulo pela desigualdade triangular:
Fazendo algumas manipulações:
E, como vimos no passo anterior, vale que:
Escolhendo então que, para qualquer escolhido vale:
Temos:
Ou seja:
Como queríamos demonstrar 😊
Então resumindo, sempre precisamos começar encontrando a relação entre e no nosso rascunho. E, depois provamos “formalmente”. Beleza?
É isso gente, até a próxima 😊
Resposta
Resposta no texto.