UFCG, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral III, Listas - Prof° Pammella Queiroz - Lista 1 - 2022.1, Questão 2.5cd
Use a definição de limite e prove que:
Passo 1
Fala aí galera, tudo bem?
Nessa questão temos dois itens onde precisamos calcular limite de função de duas variáveis utilizando a definição.
Então, vamos dar uma revisada na definição formal de limite:
Se e somente se:
Dado existe tal que e tem-se .
Simm, essa definição parece tão complexa né? Mas, vamos focar em pensar em como usamos ela pra resolver o nosso problema. Se queremos provar que:
Precisamos apenas mostrar que pra qualquer número que escolhermos, existe um outro número que iremos tomar como hipótese que obedece a:
De modo que será verdade que:
Essa última relação é a que vamos querer provar no final das contas. Beleza?
Então, vamo lá!
Passo 2
Bom, vamos começar pelo item c). Queremos provar que:
Lembrando da nossa definição formal, temos que:
Show, então para provar que esse limite vale , precisamos provar que:
Partindo de que é verdade a relação:
Ou seja:
Tranquilo?!
A nossa primeira etapa é achar a relação entre e . Para fazer isso, nós fazemos tipo um rascunho mesmo, e buscamos encontrar a relação. Depois que a encontrarmos, fazemos a prova formal mesmo.
Temos:
Pela desigualdade triangular, podemos afirmar que:
Pela diferença de quadrados:
Usando essa ideia, vem:
Mas, pela relação que envolve , temos:
Como:
Temos:
De modo análogo:
Assim:
Precisamos agora conseguir tirar os termos e da jogada. Pra fazer isso usamos um truque bem importante de ter em mente, que é restringir a no máximo . Assim, se:
Ou seja:
Como queremos uma relação para , somaremos em todos os lados da desigualdade:
Da mesma forma, teremos:
Logo, podemos dizer que:
Portanto:
Essa é a nossa deixa pra encontrar a rela��ão entre e . Como queremos que:
Para um qualquer escolhido, podemos escolher que a relação é verdadeira tomando como :
Mas, como tínhamos restringido a no máximo , na prática temos:
Perfeito! Agora que encontramos a relação vamos a prova mais formal. (Isso foi apenas um rascunho galera).
Passo 3
Bom, queremos provar que:
Vamos desenvolver o lado esquerdo:
Ou seja:
Usando a relação:
Chegamos a:
Como queremos provar a nossa relação para um qualquer, podemos dizer que para qualquer escolhido existe um tal que:
Se para um dado tivermos o , então provamos que existe um e finalizamos a demonstração.
Se para um dado , tivermos , então:
Ou seja:
E assim provamos que também existe um para a relação acima ser válida!
É isso aí gente! Muito bom 😊
Passo 4
Vamos agora para o item d). É o mesmo raciocínio, beleza?
Queremos provar que:
Lembrando do nosso teorema, temos que:
Show, então para provar que esse limite vale , precisamos provar que:
Partindo de que é verdade a relação:
Ou seja:
Tranquilo?!
Esse limite é um pouquinho mais tranquilo, então não precisamos fazer o rascunho para a relação entre e , dá pra fazer tudo em um mesmo passo. Vê só, queremos desenvolver:
Mas, sabendo que:
Podemos fazer:
Mas,
Logo:
De forma análoga, temos também que:
Daí:
Usando a desigualdade triangular:
E, substituindo cada um desses termos pelas desigualdades que encontramos anteriormente:
Ou seja, mostramos que:
Como queremos provar a nossa relação para um qualquer, podemos dizer que para qualquer escolhido existe um tal que:
Assim, provamos que:
Aeee! Com isso concluímos a nossa prova!
Muito bom pessoal! É isso aí 😊
Resposta
Resposta no texto.