UFCG, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral III, Listas - Prof° Pammella Queiroz - Lista 1 - 2022.1, Questão 2.5ef
Use a definição de limite e prove que:
Passo 1
E aí galerinha, tudo na paz por aí?
Nessa questão temos dois itens onde precisamos calcular limite de função de duas variáveis utilizando a definição.
Então, vamos dar uma revisada na definição formal de limite:
Se e somente se:
Dado existe tal que e tem-se .
Simm, essa definição parece tão complexa né? Mas, vamos focar em pensar em como usamos ela pra resolver o nosso problema. Se queremos provar que:
Precisamos apenas mostrar que pra qualquer número que escolhermos, existe um outro número que iremos tomar como hipótese que obedece a:
De modo que será verdade que:
Essa última relação é a que vamos querer provar no final das contas. Beleza?
Então, vamo lá!
Passo 2
Começando pelo item e), queremos provar que:
Lembrando da nossa definição formal, temos que:
Show, então para provar que esse limite vale , precisamos provar que:
Partindo de que é verdade a relação:
Ou seja:
Tranquilo?!
A nossa primeira etapa é achar a relação entre e . Para fazer isso, nós fazemos tipo um rascunho mesmo, e buscamos encontrar a relação. Depois que a encontrarmos, fazemos a prova formal mesmo.
Temos:
Vamos manipular o lado esquerdo tentando fazer algo parecido com a relação que temos para . Assim:
Usando a desigualdade triangular:
Então:
Colocando as constantes para fora do módulo:
Mas, pela diferença de quadrados, podemos escrever que:
Assim:
Massa! Até está correndo tudo bem, né? Pra relacionar com vamos usar que:
Assim:
Analogamente:
Substituindo na nossa expressão, temos:
Ou seja, resumindo todas essas manipulações conseguimos chegar que:
Precisamos agora conseguir tirar os termos e da jogada. Pra fazer isso usamos um truque bem importante de ter em mente, que é restringir a no máximo . Assim, se:
Ou seja:
Como queremos uma relação para , somaremos em todos os lados da desigualdade:
Da mesma forma, teremos:
Substituindo, temos:
Essa é a nossa deixa pra encontrar a relação entre e . Como queremos que:
Para um qualquer escolhido, podemos escolher que a relação é verdadeira tomando como :
Mas, como tínhamos restringido a no máximo , na prática temos:
Perfeito! Agora que encontramos a relação vamos a prova mais formal. (Isso foi apenas um rascunho galera).
Passo 3
Bom, queremos provar que:
Vamos desenvolver o lado esquerdo:
Assim, usando a nossa relação que envolve temos:
Restringindo a no máximo :
Como queremos provar a nossa relação para um qualquer, podemos dizer que para qualquer escolhido existe um tal que:
Se para um dado tivermos o , então provamos que existe um e finalizamos a demonstração.
Se para um dado , tivermos , então:
Ou seja:
E assim provamos que também existe um para a relação acima ser válida!
É isso aí gente! Muito bom 😊
Passo 4
Vamos agora resolver o item .
Queremos provar que:
Lembrando do nosso teorema, temos que:
Show, então para provar que esse limite vale , precisamos provar que:
Partindo de que é verdade a relação:
Ou seja:
Tranquilo?!
Novamente, vamos achar a relação entre e fazendo um rascunho e depois fazemos a prova formal.
Da relação envolvendo , temos vem que:
Assim:
Pra remover o vamos novamente usar o truque de restringir a no máximo .
Assim:
Fazendo :
Como queremos chegar em , podemos somar duas unidades em toda a desigualdade:
Logo>
Substituindo:
Ou seja:
Essa é a nossa deixa pra encontrar a relação entre e . Como queremos que:
Para um qualquer escolhido, podemos escolher que a relação é verdadeira tomando como :
Mas, como tínhamos restringido a no máximo , na prática temos:
Perfeito! Agora que encontramos a relação vamos a prova mais formal. (Isso foi apenas um rascunho galera).
Passo 5
Bom, queremos provar que:
Vamos desenvolver o lado esquerdo:
Usando a relação envolvendo :
E:
Como queremos provar a nossa relação para um qualquer, podemos dizer que para qualquer escolhido existe um tal que:
Se para um dado tivermos o , então provamos que existe um e finalizamos a demonstração.
Se para um dado , tivermos , então:
Ou seja:
E assim provamos que também existe um para a relação acima ser válida!
É isso aí gente! Muito bom 😊
Valeeeeeu, até a próxima 😊
Resposta
Resposta no texto.