UFCG, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral III, Listas - Prof° Pammella Queiroz - Lista 1 - 2022.1, Questão 2.5gh
Use a definição de limite e prove que:
Passo 1
Faaaala galera, tudo na paz?
Nessa questão temos dois itens onde precisamos calcular limite de função de duas ou mais variáveis utilizando a definição.
Então, vamos dar uma revisada na definição formal de limite para funções de duas variáveis (depois adaptamos para o limite envolvendo :
Se e somente se:
Dado existe tal que e tem-se .
Simm, essa definição parece tão complexa né? Mas, vamos focar em pensar em como usamos ela pra resolver o nosso problema. Se queremos provar que:
Precisamos apenas mostrar que pra qualquer número que escolhermos, existe um outro número que iremos tomar como hipótese que obedece a:
De modo que será verdade que:
Essa última relação é a que vamos querer provar no final das contas. Beleza?
Então, vamo lá!
Passo 2
Começando pelo item , queremos provar que:
Lembrando da nossa definição formal, temos que:
Show, então para provar que esse limite vale , precisamos provar que:
Partindo de que é verdade a relação:
Ou seja:
Tranquilo?!
A nossa primeira etapa é achar a relação entre e . Para fazer isso, nós fazemos tipo um rascunho mesmo, e buscamos encontrar a relação. Depois que a encontrarmos, fazemos a prova formal mesmo.
Temos:
Queremos fazer aparecer algo semelhante ao que temos na relação que envolve . Daí, podemos fazer:
Podemos fatorar:
Substituindo:
Usando a desigualdade triangular:
Temos:
Maaas, da relação envolvendo podemos escrever que:
Daí, como:
Temos:
De forma análoga, temos também:
Assim, voltando na nossa desigualdade teremos:
“Po, até entendi, mas porque não substituímos o outro por também?”
É que complica bastante se aparecer ao quadrado. Então, vamos usar um truque pra matar tanto o como , beleza?
A ideia é restringir a no máximo . Assim:
Fazendo :
Somando duas unidades em toda a desigualdade:
De modo análogo, após restringirmos o temos também que:
Substituindo tudo isso na nossa expressão, vem:
Ou seja, concluímos que:
Essa é a nossa deixa pra encontrar a relação entre e . Como queremos que:
Para um qualquer escolhido, podemos escolher que a relação é verdadeira tomando como :
Mas, como tínhamos restringido a no máximo , na prática temos:
Perfeito! Agora que encontramos a relação vamos a prova mais formal. (Isso foi apenas um rascunho galera).
Passo 3
Bom, queremos provar que:
Desenvolvendo o lado esquerdo, temos:
Usando a relação envolvendo :
Restringindo o valor de a no máximo , vem:
Como queremos provar a nossa relação para um qualquer, podemos dizer que para qualquer escolhido existe um tal que:
Se para um dado tivermos o , então provamos que existe um e finalizamos a demonstração.
Se para um dado , tivermos , então:
Ou seja:
E assim provamos que também existe um para a relação acima ser válida!
É isso aí gente! Muito bom 😊
Passo 4
Vamos agora para o item . Queremos provar que:
Como temos uma função de variáveis, temos que adaptar um pouquinho. Continuamos precisando mostrar que existe um que torna a relação abaixo verdadeira:
Maaas, o que muda um pouco é a nossa relação envolvendo , pois agora temos:
Ou seja:
Tranquilo? Então vamo lá!
Esse caso é um pouquinho mais simples e não precisamos primeiro achar a relação entre e . Podemos fazer tudo junto. Vê só. Queremos provar que existe um que torna verdade para qualquer
Vamos manipular o lado esquerdo para conseguir provar essa relação:
Usando a desigualdade triangular:
Show! Vamo dar uma olhada na nossa relação envolvendo agora:
Mas, vocês concordam que:
Assim:
Maaaaas, também podemos escrever que:
Ou seja:
A relação análoga também é válida para e , assim:
Analogamente:
Daí, substituindo todas essas relações na nossa expressão principal teremos que:
Ou seja, após todas essas contas, a conclusão que chegamos é que:
Como queremos provar a nossa relação para um qualquer, podemos dizer que para qualquer escolhido existe um tal que:
Então:
Ou seja:
E assim provamos que também existe um para a relação acima ser válida!
Prontinho! Com isso finalizamos a nossa demonstração!
Muito obrigado pela atenção pessoal 😊
Resposta
Resposta no texto.