Q 18 - Uma partícula desloca-se no sentido anti-horário, sobre um círculo de raio R = 2,0   m com vetor velocidade que varia com o tempo segundo a equação v → ( t ) = 8 - 4 t e ^ θ (no SI). Sabe-se que em t = 0 sua posição angular é θ 0 = 1,0   r a d . A posição angular da partícula no instante em que ela inverte o sentido do movimento, em radianos, é:

Passo 1

Vem comigo que a gente resolve essa juntos!

Temos a situação de um movimento circular e o enunciado quer saber em que posição θ no instante que a partícula inverte o sentido do movimento.

Para que a partícula inverta o sentido do seu movimento a sua velocidade deve ser contrária ao que ela tinha, mas para isso acontecer ela tem que zerar primeiro e depois começar a crescer no sentido contrário.

Sabendo disso o instante em que a partícula inverte o movimento acontece quando v t = 0 , com isso achamos o instante que queremos.

Agora para conseguir a posição angular θ nesse instante temos que saber conhecer θ t , ou seja, como ele varia com tempo.

Passo 2

Vamos primeiro encontrar uma expressão para θ ( t ) . Usando a definição de radianos, temos que:

θ = S R

Mas como θ varia com tempo temos que:

θ = S t R

Onde S ( t ) é a função posição da partícula, e como:

v = d S d t

S t = ∫ v   d t

Onde v é a velocidade na direção e ^ θ , já que é ela que faz θ variar, com isso temos que:

θ ( t ) = 1 R ∫ v θ   d t

Usando que v θ ( t ) = 8 - 4 t , temos:

θ ( t ) = 1 R ∫ ( 8 - 4 t )   d t

⇒ θ ( t ) = 1 R 8 t - 2 t 2 + θ 0

Onde θ 0 é uma constante de integração. Como o enunciado diz que em t = 0 temos θ = 1   r a d , logo θ 0 = 1   r a d .

Passo 3

Agora vamos encontrar o instante em que v t = 0 , temos:

  v t = 8 - 4 t = 0

⇒ 4 t = 8

⇒ t = 2   s

Passo 4

Agora que sabemos o valor t , podemos achar θ nesse instante, temos:

θ ( 2 ) = 1 2 8 ( 2 ) - 2 ( 2 ) 2 + 1

= 1 2 16 - 8 + 1

= 4 + 1

Logo temos que:

θ 2 = 5   r a d

Então essa é a posição que ela se encontrar quando inverte seu movimento.

Resposta

θ 2 = 5   r a d

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