UFSCAR, Sem Campus, Física 1, Listas Física 1 - UFSCAR - Lista 2 - Dinâmica, Questão 6
Dois satélites estão orbitando a Terra em altitudes diferentes. Assuma que as órbitas são circulares e os satélites têm a mesma massa. Qual satélite possui maior velocidade linear em torno da Terra? Qual satélite tem um maior período ?
Passo 1
Eaew, tudo bem com você?
Aqui temos uma questão que trabalha alguns conceitos de movimento circular uniforme, os dois satélites têm a mesma massa, e estão em órbitas circulares em alturas diferentes. A força central atuando sobre os satélites é a força gravitacional dada por
em que é a massa da Terra, e é a distância do satélite, com sua massa. A expressão acima será chave para resolvermos nosso problema! Lembrando que ela será a causa da nossa aceleração centrípeta! Consegue visualizar? Vem comigo!
Passo 2
Para o satélite (que chamaremos de satélite ) que está mais baixo, temos que
em que usei , já que a força gravitacional tem papel de força centrípeta, e o raio da circunferência é a distância do satélite! Temos algumas constantes que não conhecemos, mas não precisamos delas para responder nossa pergunta! Da mesma forma, temos para o satélite mais alto que
Precisamos agora comparar as duas equações acima, e ver quem é maior, ou ! Saca só!
Passo 3
Vamos fazer a razão entre a equação e , temos que
lembrando que quando temos razões entre frações, nós precisamos manter a primeira e multiplicar pelo inverso da segunda, de forma que simplificando as constantes iguais, temos que
que se torna
simplificando as distâncias, temos que
como temos que , então a razão do lado esquerdo é maior que , sendo assim
a velocidade linear do satélite mais baixo é maior do que a velocidade linear do satélite mais alto! A primeira parte da questão é isso! Vamos tentar agora relacionar estas expressões ao período!
Passo 4
Temos que o período é o tempo que o satélite leva para dar uma volta completa ao redor da Terra, portanto, com a órbita é circular, temos que o percurso tem uma a seguinte circunferência
Como a velocidade é constante, podemos calcular o tempo que leva para percorrer essa distância como
ou seja, para cada um dos satélites, temos que
e, também que
Agora é só comparar as duas! Vamos lá!
Passo 5
Fazendo a razão das equações e , temos que
novamente, usando que a razão de frações mantém a primeira e multiplica pelo inverso da segunda, temos que
Como temos que e que , o produto das duas razões do lado direito é necessariamente , portanto, temos que a razão
Ou seja, o período do satélite , , é menor que o período do satélite , ! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!
Resposta
e