Considere uma roda fixa que consiste de um disco cilíndrico uniforme de raio R e massa M 1 e um segundo disco cilíndrico uniforme de raio R / 2 e massa M 2 que está encaixado concentricamente ao primeiro disco. A roda gira livre de atrito em torno do eixo central. Uma corda é enrolada em torno do disco menor. A ponta livre é atada a um bloco de massa M b de tal forma que os dois discos girem enquanto o bloco desce. A aceleração da gravidade tem magnitude g . O bloco é solto do repouso. Qual o tempo para o bloco cair de uma distância d ? Dê sua resposta em função das variáveis do problema.

Passo 1

Faaaaala gente bonita do Responde Aí, tudo certinho com vocês?

Nessa questão temos um problema bem interessante sobre rodas, fios e bloquinhos (a cara da mecânica né? Haha). Pois então, basicamente temos duas rodas concêntricas (seus centros estão alinhados) e que estão fixas uma na outra (rodam juntas).

Daí, é amarrado um fio em torno da roda menor e é preso um bloco de massa M b na outra ponta do fio. Naturalmente, a querida gravidade vai fazer o bloquinho descer, e as rodas começarem a girar, certo?

A pergunta do problema é quanto tempo o bloquinho demora pra cair uma distância d .

Sacaram?!

Nesses problemas o ponto crucial é conseguir determinar a aceleração do sistema. Depois de encontrar a aceleração é só usar a equação horária do MRUV (movimento com aceleração constante) e determinar o tempo pedido. Mas, como determinamos a aceleração?

Então galera, a ideia principal é usarmos a equação que persegue esses problemas de dinâmica envolvendo rodas, discos, pneus, e tudo aquilo que gira haha.

τ = I ⋅ α

onde τ é o torque atuante nas rodas, I o seu momento de inércia, e α a aceleração angular.

Daí, a partir da aceleração angular podemos usar que:

α = a R d i s c o

Massa! Agora que já sabemos disso, vamos lá! Mãos à obra 😊

Passo 2

Bom, pra começar, vamos analisar a equação:

τ = I ⋅ α

O torque envolvido, como podemos ver na figura abaixo, é justamente o associado à força peso atuante no bloquinho.

Assim, temos:

τ = M b g ⋅ L

Massa! Olhando agora para o lado direito da equação, precisamos determinar o momento de inércia associado. Lembra quanto vale o momento de inércia de um disco de massa m e raio r ?

Vale:

I = m r 2 2

Aqui, temos dois discos que giram juntos com aceleração angular α , logo:

I = I 1 + I 2

Onde I 1 e I 2 são os momentos de inércia dos dois discos. Logo:

I = M 1 R 2 2 + M 2 R 2 2 2

∴ I = R 2 2 M 1 + M 2 4

Daí, substituindo na nossa equação vamos encontrar:

M b g ⋅ L = R 2 2 M 1 + M 2 4 ⋅ α

Portanto:

α = 2 M b g L R 2 M 1 + M 2 4  

Excelente!

Passo 3

Agora que já calculamos a aceleração angular, podemos usar que:

α = a r

E calcular a aceleração linear. Pelo vínculo geométrico do fio, que é inextensível, a aceleração linear de um ponto do disco menor, é igual à aceleração linear do fio, que é igual à aceleração linear do bloquinho. Logo:

a b = α R 2

Ou seja:

a b = 2 M b g L R 2 M 1 + M 2 4 R 2  

∴ a b =   4 M b g L R M 1 + M 2 4

Agora que já temos a aceleração, podemos substituir na equação horário do MRUV, a famosa equação do sorvetão haha!

S = S 0 + V 0 t + a t 2 2

Temos para o nosso problema que:

S - S 0 = d V 0 = 0

pois o bloco saiu do repouso.

Então:

Δ t = 2 d a b

Substituindo a b , temos:

Δ t = 2 d R M 1 + M 2 4 4 M b g L

⇒ Δ t =   d R M 1 + M 2 4 2 M b g L

Prontinho!!!

Curtiram a solução? Responde Aí!

Resposta

d R M 1 + M 2 4 2 M b g L

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