Uma haste rígida e uniforme de comprimento d e massa m está deitada sobre uma mesa sem atrito e é articulada por um eixo no ponto P em uma de suas extremidades. Um objeto pontual de massa m está movendo para direita com velocidade v . Ele colide e gruda na haste a uma distância 2 d 3 do eixo articulado. Um segundo objeto pontual também de massa m movendo para a esquerda também atinge e gruda na haste no mesmo instante que o primeiro objeto, mas a uma distância d 3 . O momento de inércia da hasta para um eixo que passa pelo seu centro de massa e paralelo ao eixo articulado é I c m = 1 12 m d 2 . Depois da colisão o sistema rotacional sobre o eixo articulado está com velocidade angular ω f .

  • Qual é a velocidade angular ω f ?
  • Qual é a razão entre a energia cinética inicial e final do sistema K f - K i K i ?

Passo 1

Eaí pessoal, como vocês estão?

Temos aqui um probleminha envolvendo colisão, momento angular, momento de inércia, vários conceitos legais pra gente trabalhar 😊.

Basicamente, dois objetos pontuais colidem com uma barrinha que estava inicialmente parada. Um deles colide a uma distância 2 d 3 e outro a uma distância d 3 da extremidade articulada da barra. Após a colisão, esses objetos grudam na barrinha formando um único corpo, que passa a rotacionar em volta da articulação com velocidade angular ω f .

O objetivo do enunciado é que determinemos ω f , e também a razão entre a energia cinética final e inicial do sistema.

Pra fazer isso precisamos usar o conceito da conservação do momento angular, como não há torque externo ao sistema composto pela barra e pelos dois corpos, podemos afirmar que o momento angular total se conserva. Assim, nossa estratégia vai ser calcular o momento angular antes e após a colisão, para encontrar as informações pedidas, beleza?

Vamo nessa!

Passo 2

Então galera, vamos começar calculando o momento angular total logo antes da colisão.

Quanto aos objetos pontuais, que chamaremos de p 1 e p 2 , os seus momentos angulares com relação ao eixo articulado, vale:

L = m ⋅ v ⋅ r

onde r é a distância do objeto até o eixo articulado.

Assim:

L p 1 = m ⋅ v ⋅ 2 d 3

L p 2 = - m ⋅ v ⋅ d 3

O sinal de negativo é porque o sentido de rotação é oposto ao de p 2 .

Massa! Já para a barra temos que inicialmente ela está em repouso, assim:

L b a r r a = 0

Portanto, o momento angular total inicial, vale:

L t o t a l = L p 1 + L p 2 + L b a r r a

= 2 m v d 3 - m v d 3

Logo:

L t o t a l = m v d 3

Perfeito pessoal 😊

Passo 3

Agora vamos calcular o momento angular imediatamente após a colisão.

Temos que os corpos estarão grudados na barra, e estarão rotacionando junto com elas, ou seja, com velocidade angular ω f .

Como:

v = ω r

Teremos que:

L p 1 = m ω f 2 d 3 2

L p 2 = m ω f d 3 2

Já para a barrinha, temos que:

L b a r r a = I ⋅ ω f  

Mas, esse é o momento de inércia em relação ao eixo articulado da barra, e no enunciado recebemos apenas o momento de inércia com relação ao centro de massa da barra.

Podemos então usar o teorema dos eixos paralelos:

I e = I O + m d 2

onde I e é momento de inércia com relação ao eixo de interesse, I o o momento de inércia em relação ao CM e d a distância entre os eixos.

Daí:

I = 1 12 m d 2 + m d 2 2

∴   I = m d 2 3

Excelente!

Substituindo na nossa expressão principal, vamos ter:

L b a r r a = m d 2 3 ⋅ ω f

Juntando tudo:

L t o t a l = m ω f 2 d 3 2 + m ω f d 3 2 + m d 2 3 ⋅ ω f

= m ω f d 2 4 9 + 1 9 + 1 3

⇒ L t o t a l = m ω f d 2 ⋅ 8 9

Mas, pela conservação do momento angular, temos que:

L t o t a l = m v d 3

Assim:

m v d 3 = 8 9 m ω f d 2

⇒ ω f = 3 v 8 d

Aí sim! A primeira pergunta já foi 😊

Passo 4

A próxima parte é calcular a razão entre a energia cinética final e inicial:

K f - K i K i

Vamos começar calculando K i :

K i = m p 1 v 2 2 + m p 2 v 2 2 + m b a r r a v b 2 2

Mas a barra estava em repouso e m p 1 = m p 2 . Assim:

K i = m v 2

Já após a colisão, a energia cinética final pode ser calculada considerando que:

v p =   ω f ⋅ r

onde r é a distância até o eixo articulado. E, para a barra, podemos usar o centro de massa e tomar a distância entre o CM e o eixo articulado. Daí:

K f = m ω f ⋅ 2 d 3 2 2 + m ω f ⋅ d 3 2 2 + m ω f ⋅ d 2 2 2

= m ω f 2 2 ⋅ 4 d 2 9 + d 2 9 + d 2 4

∴ K f = m ω f 2 d 2 2 29 36

Vamos agora calcular a razão:

K f - K i K i = K f K i - 1

Substituindo os valores encontrados, temos que:

K f K i - 1 = m ω f 2 d 2 2 29 36 m v 2 - 1

= 29 d 2 2 ⋅ 36 ⋅ ω f d 2 - 1

Mas, vimos no item anterior que:

ω f v = 3 8 d

Logo:

K f K i - 1 = 29 d 2 2 ⋅ 36 ��� 9 64 d 2 - 1

= 29 8 ⋅ 64 - 1

Portanto:

K f - K i K i =   - 483 512

Aeee! Terminamos!

Curtiram a solução? Responde Aí!

Resposta

ω f = 3 v 8 d

K f - K i K i =   - 483 512

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