Em um motor elétrico típico, a curva de torque é aproximadamente constante na faixa de rotações de trabalho do motor. Suponha que o eixo deste motor está conectado à uma roda de massa m , em formato de cilindro. Sabendo que o torque do motor é dado por Τ 0 = c t e , obtenha a aceleração angular α e a velocidade angular ω ( t ) em função do tempo t .

Passo 1

Eaí gente, tudo certinho com vocês?

Nessa questão temos um motor que está fazendo um disco girar. O torque exercido pelo motor é constante e vale:

Τ = Τ 0

Precisamos determinar a aceleração angular do disco e a sua velocidade angular em função do tempo, sabendo que ele possui massa m .

Embora não tenha sido dado no enunciado, vamos considerar também que o raio desse disco é R , beleza?

Bom, pra resolver essa questão tem duas expressões bem importantes que devemos lembrar:

1 )   Τ = I ⋅ α

2 )   ω t =   ω 0 + α t

A segunda expressão é válida se a aceleração angular for constante.

Sabendo disso, vamos utilizar o fato do torque ser constante junto com as duas expressões acima para determinar a aceleração e velocidade angular 😊

Passo 2

Como o torque imprimido pelo motor no disco vale Τ 0 , podemos escrever que:

Τ 0 = I d i s c o ⋅ α

O momento de inércia de um disco é dado por:

I d i s c o = m R 2 2

Substituindo na expressão, temos:

Τ 0 = m R 2 2 ⋅ α

∴ α = 2 T 0 m R 2

Olha aí! Encontramos a aceleração angular. E, como todos os parâmetros que ela depende são constantes, podemos afirmar que a aceleração angular do disco é constante.

Passo 3

Como vimos que α é constante, podemos usar a expressão 2 ) do passo 1 pra determinar a velocidade angular em função do tempo:

ω t =   ω 0 + α ⋅ t

Considerando que antes do motor ser ligado o disco estava parado, podemos dizer que ω 0 = 0 . Assim:

ω t = α t

Substituindo o valor de α calculado:

ω t = 2 T 0 m R 2 ⋅ t  

Prontinho! Com isso matamos a questão 😊

Resposta

α = 2 T 0 m R 2

ω t = 2 T 0 m R 2 ⋅ t  

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