A corda da figura 2.22 tem comprimento L = 120   c m e a distância d até o pino fixo P é de 75   c m . A bola é liberada, a partir do repouso, com a corda na posição horizontal, descrevendo a trajetória indicada pela linha tracejada como mostra a figura. Qual é a velocidade da bola:

c ) Mostre que para que a bola faça uma volta completa em torno do pino d > 3 L 5 . (Sugestão: A bola ainda deve estar se movendo quando chegar ao ponto mais alto da trajetória).

Passo 1

Olá gente, como vocês estão?

Nessa questão temos uma bolinha que está presa a um fio de comprimento L . Ela é largada da posição horizontal, conforme mostrado na figura, e realiza uma trajetória circular até que o seu fio encontra o ponto P .

Nesse momento a bola começa a girar em torno desse ponto P .

Nesse item precisamos provar que, se a bola completar uma volta completa em torno do ponto P é válido que:

d > 3 L 5

Para fazer isso, precisamos pensar sobre qual é a condição para a bola conseguir realizar uma volta completa em torno do ponto P .

Para que ela não “caia” durante a volta a corda precisa estar sempre tracionada, ou seja, T ≠ 0 . E, o ponto mais crítico para a tração na corda acontece justamente no ponto mais alto da trajetória após a corda tocar o pino.

Ainda tá complicado? Não se preocupa, vamos com bastante calma resolver todos os detalhes dessa questão 😉

Passo 2

Bom, como calculamos no item anterior, utilizando a conservação da energia mecânica, vimos que a bola chega ao ponto mais alto da trajetória ao redor do pino com velocidade:

v = - 2 g ( L - 2 d )

Até aí beleza...

No ponto mais alto da trajetória, como trata-se de uma trajetória circular, teremos uma força centrípeta, que nada mais é do que a resultante radial das forças na partícula. Assim:

F c p = m v 2 r

Daí, substituindo, temos:

F c p = 2 m g 2 d - L r

Como na direção radial, no ponto mais alto da trajetória, atuam apenas o peso da bola e a tração, vem que:

F c p = P + T

= m g + T

Massa!

Como falamos anteriormente, para que a bola seja capaz de completar o loop ao redor do pino, a tração não pode ser nula em nenhum momento. Ou seja:

T > 0

Assim, temos:

T = F c p - m g > 0

Logo:

2 m g 2 d - L r - m g > 0

2 m g 2 d - L - m g r > 0

Como:

r = L - d

Temos:

4 m g d - 2 m g L - m g L + m g d > 0

∴ 5 m g d - 3 m g L > 0

5 m g d > 3 m g L

Portanto, chegamos que:

d > 3 L 5

Essa é a condição que precisa ser obedecida para a bola conseguir realizar o movimento de loop. Como queríamos provar 😊

Prontinho gente, obrigado pela atenção de todos!!

Resposta

Resposta no texto.

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