Um anel de raio R e massa m 1 está deitado sobre uma mesa sem atrito. Ele é articulado por um eixo na sua borda. Um inseto de massa m 2 anda sobre o anel com uma velocidade constante v relativo ao anel, e começando no eixo articulado, quando o anel está em repouso. Assuma o eixo k ^ para fora da página.

  • Qual é a velocidade angular do anel quando o inseto está na metade da volta?
  • Qual é a velocidade angular do anel quando o inseto está de volta ao eixo articulado?

Passo 1

Olá galerinha, tudo na paz com vocês?

Nessa questão temos um anel que está em cima de uma mesa plana, sem atrito, e que está articulado em um de seus pontos. Daí, um inseto audaz pousa em cima do anel justamente no ponto que está articulado, e começa a se mover com velocidade v em cima do anel.

O enunciado nos pergunta qual a velocidade angular do anel em duas situações:

1 ) quando o inseto está na metade da volta;

2 ) quando o inseto concluiu a primeira volta.

Beleza?

Então galera, pra onde é que a gente vai nesse problema?!

O grande ponto é que, como não há torque externo, o momento angular se conserva.

Vocês lembram como calculamos o momento angular do inseto com relação ao eixo articulado?

L = m ⋅ v ⋅ r

onde r é a distância do inseto, em cada instante, até o eixo articulado.

Além disso, temos também que calcular o momento angular do anel. Basicamente, ele vale:

L a n e l = I ⋅ ω

Agora que já sabemos disso, vamos lá! Mãos à obra!

Passo 2

Bom, vamos começar calculando momento angular total no início do movimento:

L t o t a l = L i n s e t o + L a n e l

Porém, o enunciado nos diz que inicialmente o anel está em repouso. Então:

L a n e l = I ⋅ ω = 0

Já para o momento angular do inseto, como inicialmente o inseto está em cima do eixo articulado, sua distância até o eixo é nula. Logo:

L i n s e t o = m ⋅ v ⋅ r = 0

Sendo assim, encontramos que:

L t o t a l = 0

Massa! Esse momento angular precisa se conservar.

Passo 3

Vamos começar analisando quando o inseto está na metade da volta.

Se ele está na metade da volta, deve estar diametralmente oposto ao eixo articulado, ou seja:

r = 2 R

Daí:

L i n s e t o = m 2 ⋅ v ⋅ ( 2 R )

= 2 m 2 v R

Beleza!

Já para o anel, temos:

L a n e l = I ⋅ ω

Mas, qual o momento de inércia do anel, mesmo?

Basta fazermos:

I = ∫ r 2 d m

Como no anel a distância de qualquer ponto é fixa e vale R , temos que:

I = R 2 ∫ d m

∴ I = m 1 R 2

Show de bola! Logo, o momento angular total quando o inseto está na metade da volta, vale:

L t o t a l = 2 m 2 v R + m 1 R 2 ω

Pela conservação do momento angular total:

2 m 2 v R + m 1 R 2 ω = 0

∴ ω = - 2 m 2 v R m 1 R 2

Excelente! Essa é a velocidade angular do anel na metade da volta do inseto!

Passo 4

Já quando o inseto completou a volta, ele vai estar novamente em cima do eixo articulado.

Assim, novamente teremos:

r = 0

Logo:

L i n s e t o = 0

Daí, substituindo na equação da conservação do momento angular:

0 = 0 + L a n e l

∴ L a n e l = 0

⇒ ω = 0

Portanto, quando o inseto volta à posição inicial, o anel está novamente em repouso.

Ufaa! Terminamos!

Espero que vocês tenham entendido tudo bem direitinho!

Até a próxima 😊

Resposta

ω = - 2 m 2 v R m 1 R 2

ω =   0

Exercícios de Livros Relacionados

Uma partícula P se move com velocidade escalar constante sobre uma circunferência de raio r=3,00m (Fig. 4 56) e completa uma revolução a cada 20,0s . A partícula passa pelo ponto O no instante t= 0 .
Um astronauta é posto em rotação em uma centrífuga horizontal com um raio de 5,0m . (a) Qual é a velocidade escalar do astronauta se a aceleração centrípeta tem um módulo de 7,0g ? (b) Quantas revoluç
Um carrossel de um parque de diversões gira em torno de um eixo vertical com velocidade angular constante. Um homem em pé na borda do carrossel tem uma velocidade escalar constante de 3,66m / s e uma
Uma bolsa a 2,00m do centro e uma carteira a 3,00m do centro descrevem um movimento circular uniforme no piso de um carrossel. Os dois objetos estão na mesma linha radial. Em um certo instante, a acel
75. Nos Problemas de 74 a 76 são fornecidas algumas equações que devem ser usadas para resolver um problema. Para cada um deles, você deve a. Escrever um problema realista para o qual estas equações s