Um anel de raio R e massa m 1 está deitado sobre uma mesa sem atrito. Ele é articulado por um eixo na sua borda. Um inseto de massa m 2 anda sobre o anel com uma velocidade constante v relativo ao anel, e começando no eixo articulado, quando o anel está em repouso. Assuma o eixo k ^ para fora da página.

  • Qual é a velocidade angular do anel quando o inseto está na metade da volta?
  • Qual é a velocidade angular do anel quando o inseto está de volta ao eixo articulado?

Passo 1

Olá galerinha, tudo na paz com vocês?

Nessa questão temos um anel que está em cima de uma mesa plana, sem atrito, e que está articulado em um de seus pontos. Daí, um inseto audaz pousa em cima do anel justamente no ponto que está articulado, e começa a se mover com velocidade v em cima do anel.

O enunciado nos pergunta qual a velocidade angular do anel em duas situações:

1 ) quando o inseto está na metade da volta;

2 ) quando o inseto concluiu a primeira volta.

Beleza?

Então galera, pra onde é que a gente vai nesse problema?!

O grande ponto é que, como não há torque externo, o momento angular se conserva.

Vocês lembram como calculamos o momento angular do inseto com relação ao eixo articulado?

L = m ⋅ v ⋅ r

onde r é a distância do inseto, em cada instante, até o eixo articulado.

Além disso, temos também que calcular o momento angular do anel. Basicamente, ele vale:

L a n e l = I ⋅ ω

Agora que já sabemos disso, vamos lá! Mãos à obra!

Passo 2

Bom, vamos começar calculando momento angular total no início do movimento:

L t o t a l = L i n s e t o + L a n e l

Porém, o enunciado nos diz que inicialmente o anel está em repouso. Então:

L a n e l = I ⋅ ω = 0

Já para o momento angular do inseto, como inicialmente o inseto está em cima do eixo articulado, sua distância até o eixo é nula. Logo:

L i n s e t o = m ⋅ v ⋅ r = 0

Sendo assim, encontramos que:

L t o t a l = 0

Massa! Esse momento angular precisa se conservar.

Passo 3

Vamos começar analisando quando o inseto está na metade da volta.

Se ele está na metade da volta, deve estar diametralmente oposto ao eixo articulado, ou seja:

r = 2 R

Daí:

L i n s e t o = m 2 ⋅ v ⋅ ( 2 R )

= 2 m 2 v R

Beleza!

Já para o anel, temos:

L a n e l = I ⋅ ω

Mas, qual o momento de inércia do anel, mesmo?

Basta fazermos:

I = ∫ r 2 d m

Como no anel a distância de qualquer ponto é fixa e vale R , temos que:

I = R 2 ∫ d m

∴ I = m 1 R 2

Show de bola! Logo, o momento angular total quando o inseto está na metade da volta, vale:

L t o t a l = 2 m 2 v R + m 1 R 2 ω

Pela conservação do momento angular total:

2 m 2 v R + m 1 R 2 ω = 0

∴ ω = - 2 m 2 v R m 1 R 2

Excelente! Essa é a velocidade angular do anel na metade da volta do inseto!

Passo 4

Já quando o inseto completou a volta, ele vai estar novamente em cima do eixo articulado.

Assim, novamente teremos:

r = 0

Logo:

L i n s e t o = 0

Daí, substituindo na equação da conservação do momento angular:

0 = 0 + L a n e l

∴ L a n e l = 0

⇒ ω = 0

Portanto, quando o inseto volta à posição inicial, o anel está novamente em repouso.

Ufaa! Terminamos!

Espero que vocês tenham entendido tudo bem direitinho!

Até a próxima 😊

Resposta

ω = - 2 m 2 v R m 1 R 2

ω =   0

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