Uma bolinha de massa m é suspensa por um cordão de comprimento l , O cordão faz um ângulo β com a vertical. A bolinha orbita em círculos com velocidade angular ω desconhecida, O plano orbital da bolinha está a uma altura h do chão. Seja g a constante da aceleração da gravidade, Ignore a resistência do ar.

  • Descubra a velocidade angular ω . Use as constantes explicitadas no problema.
  • A bolinha se solda do cordão e atinge o chão a uma distância horizontal d de onde se soltou. Qual é essa distância d ?

Passo 1

Oiie, tudo bem?

Esses enunciados são sempre melhor explicitados quando colocamos um diagrama das forças que atuam sobre a nossa partícula. Vamos usar o esquema dado no enunciado para introduzir estas forças, temos que

Temos que o movimento circular de velocidade angular ω é causado por uma força centrípeta, neste caso esta força é a componente horizontal da tensão do fio, T h . Essa informação é suficiente para encontrarmos a velocidade utilizando a segunda lei de Newton, e algumas relações conhecidas! Após a liberação da partícula, você pode imaginar como se o fio arrebentasse, a partícula se move como em um lançamento oblíquo com angulo inicial de lançamento θ = 0 , então analisando cinematicamente o movimento vertical e horizontal, seremos capazes de obter a distância d . Vamos começar então!

Passo 2

Pela segunda lei de Newton, podemos escrever duas equações, uma para a dinâmica no que chamei de direção horizontal

T h = m   a c           ( 1 )

em que a c é a aceleração centrípeta. E, uma para a direção vertical, no qual não há movimento, temos

T v - m g = 0         ( 2 )

Usando a definição de aceleração centrípeta, a c = v 2 / r , na equação ( 1 ) podemos escrever

T h = m   v 2 / r   = m ω 2 r           ( 3 )  

em que r é o raio da circunferência delimitada pelo movimento circular, e usei a definição v = ω   r , para relacionar a velocidade angular com a velocidade tangencial! Vamos trabalhar um pouco estas equações agora!

Passo 3

Temos que as componentes da tensão são obtidas observando o esquema como

T h = T   s e n ( β ) e T v = T   c o s ( β )

da mesma forma, podemos obter o raio r da circunferência como

r = l   s e n ( β )

desta maneira, a equação ( 2 ) e ( 3 ) , se tornam

T   c o s ( β ) = m g           ( 4 )

e, também

T   s e n ( β ) = m ω 2 l   s e n ( β )  

ou simplificando, temos que

T = m ω 2 l  

Ou seja, a nossa velocidade angular é dada por

ω 2 = T m l           ( 5 )

Agora só precisamos achar quem é a nossa tensão! Vamos lá!

Passo 4

A tensão pode ser obtida diretamente da equação ( 4 ) , temos que

T = m g c o s ( β )

e, portanto, a velocidade angular é dada por

ω 2 = ( m g ) m l   ( c o s ( β ) ) = g l   c o s ( β )

tirando a raiz, temos que

ω = g l   c o s ( β )

Ótimo! A primeira parte da questão já foi! Vamos fazer agora a segunda!

Passo 5

Quando o fio arrebenta temos que a bolinha se solta com uma velocidade linear obtida usando que

v = ω   r

usando ω que encontramos e r como no esquema, temos que

v = g l   c o s ( β )   l   s e n ( β ) = g l c o s ( β ) s e n ( β )         ( 6 )

Isso será a nossa velocidade inicial puramente horizontal! Enquanto, que a velocidade inicial vertical é zero! Mas qual a importância de sabermos isso? Após o fio se soltar temos que o movimento é dominado pelas duas equações cinemáticas, para a horizontal temos

s h = s 0 + v 0 t           ( 7 )

em que d = s h - s 0 , será obtido quando a bolinha percorrer um tempo t , igual ao tempo que ela leva para cair! E como encontramos esse tempo? Através da equação que domina a vertical! Temos que

s v = h - 1 2 g t 2           ( 8 )

Vamos trabalhar estas equações! Vem comigo!

Passo 6

Primeiro, se queremos que a bolinha chegue ao chão, vamos considerar o instante de tempo em que s v = 0 , portanto, da equação ( 8 ) , temos que

0 = h - 1 2 g t 2

ou, isolando o tempo, temos

t = 2 h g

Maravilha! Se esse é o tempo que leva para a bolinha cair, podemos substituir na equação ( 7 ) , junto com a equação ( 6 ) como velocidade inicial, para obter a distância do ponto inicial s 0 , como

d = s h - s 0 = [ g l c o s ( β ) s e n ( β ) ] [ 2 h g ]

Apenas simplificando a expressão, temos que

d = 2 h l c o s ( β ) s e n ( β )

Aí está! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

ω = g l   c o s ( β ) e d = 2 h l c o s ( β ) s e n ( β )

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