Uma bolsa a 2,00   m do centro e uma carteira a 3,00   m do centro descrevem um movimento circular uniforme no piso de um carrossel. Elas estão na mesma linha radial. Em um certo instante, a aceleração da bolsa é ( 2,00   m / s ² ) i   +   ( 4,00   m / s ² ) j . Qual é a aceleração da carteira nesse instante, em termos dos vetores unitários.

Passo 1

Ele nos dá uma aceleração aí e nos diz que o movimento é circular uniforme. O que isso quer dizer?

Tudo! Movimento circular uniforme só tem aceleração centrípeta, então essa aceleração aí é a centrípeta

Vamos desenhar um esqueminha nesse do que está acontecendo nesse nosso carrossel verde abaixo, com a bolsa na cor preta e a carteira na cor roxa.

Passo 2

Sabemos que o módulo da aceleração centrípeta pode ser calculada por:

a → c p = v 2 R

Mas para só pra pensar, se eles estão em cima do carrossel , eles estão sob mesma velocidade angular, pois a variação do ângulo num mesmo intervalo de tempo vai ser igual pra todos.

Sabemos também que v = ω R e substituindo ali, teremos:

a → c p = ω ² R

Passo 3

Escrevendo a aceleração de cada uma, teremos:

a → c p b o l s a = ω ² . 2

a → c p c a r t e i r a = ω ² . 3

Dividindo uma pela outra, teremos:

a → c p b o l s a a → c p c a r t e i r a = ω ² . 2 ω ² . 3

E assim, teremos:

3 2 a → c p b o l s a = a → c p c a r t e i r a

Passo 4

Beleza, mas quem é a → c p b o l s a ? É justamente o módulo do vetor a → c p b o l s a = ( 2,00   m / s ² ) i   +   ( 4,00   m / s ² ) j

Como calcula? Fácil!

a → c p b o l s a = 2 ² + 4 ² = 20 = 2 5

Assim, a → c p c a r t e i r a será:

a → c p c a r t e i r a = 3 2 a → c p b o l s a = 3 2 . 2 5 = 3 5

Passo 5

Beleza, já temos o módulo, mas queremos o vetor que representa a aceleração.

A gente sabe que ele deve apontar para a mesma direção que a → c p b o l s a , porém com módulo 3 5 . Pra achar esse vetor, temos que achar os vetores unitários que dão a direção para a aceleração da bolsa, pra fazer isto basta dividir o vetor pelo módulo do vetor.

a → u n i t a r i o = 1 2 5 .   2 m s 2 i ^   +   4 m s 2 j ^ =   1 5 m s 2 i ^   +   2 5 . m s 2 j ^

Daí

a → c p c a r t e i r a = a → c p c a r t e i r a x   a → u n i t a r i o

a → c p c a r t e i r a = 3 5 . 1 5 m s 2 i ^   +   2 5 . m s 2 j ^ =   ( 3 m / s ² ) î   +   ( 6 m / s ² ) j ^

Resposta

a → c p c a r t e i r a =   ( 3 m / s ² ) i ^   +   ( 6 m / s ² ) j ^

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